数学选修2-1第三章检测试题

第三章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】知识点、方法题号易中空间向量的线性运算14空间向量的数量积310共线向量与共面向量1、1112空间向量的坐标运算2、48利用空间向量证平行6、15利用空间向量证垂直16、17、18利用空间向量求角5、7、17、18利用空间向量求距离13、169、18一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)1.(2013高密高二检测)已知a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则(C)(A)x=1,y=1(B)x=12,y=-12(C)x=16,y=-32(D)x=-16,y=32解析:∵a=(2x,1,3)与b=(1,-2y,9)共线,故有213129xy,∴x=16,y=-32.故选C.2.(2013云南三明高二检测)已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于(A)(A)-15(B)-5(C)-3(D)-1解析:a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),∴5a·3b=15a·b=-15.故选A.3.若向量(1,0,z)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则z等于(A)(A)0(B)1(C)-1(D)2解析:由已知得21,0,2,1,22331zz,∴2222331zz,解得z=0,故选A.4.(2013德州高二检测)空间直角坐标系中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是(A)(A)平行(B)垂直(C)相交但不垂直(D)无法确定解析:∵=(-2,-2,2),=(1,1,-1),=-2,∴∥,又A,B,C,D不共线,∴AB∥CD.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,B1C与对角面DD1B1B所成角的大小为(B)(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°解析:设正方体棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系.则C(0,,0),B1(,0,2),∴=(-,,-2),又=(0,,0)是平面BB1D1D的法向量.·=2,且||=2,||=,∴cos,=212222.∴B1C与平面BDD1B1的法向量夹角为60°,∴B1C与平面BDD1B1的夹角为30°,故选B.6.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则(B)(A)α⊥β(B)α∥β(C)α与β相交但不垂直(D)以上都不对解析:∵n=-2(3,1,-5)=-2m,∴m∥n,∴α∥β.故选B.7.已知向量a=(1,x,1),b=(2,1,-1),a·b0,则函数y=x2+4x-1的值域是(C)(A)(-∞,3)(B)(-∞,-3)(C)(-4,+∞)(D)(-∞,-4)解析:由于a·b=1×2+x-1=x+10,∴x-1.∴y=x2+4x-1=(x+2)2-5在(-1,+∞)为增函数,所以y(-1)2+4×(-1)-1=-4,即y∈(-4,+∞),故选C.8.(2013长春外国语学校高二检测)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面结论错误的是(D)(A)BD∥平面CB1D1(B)AC1⊥BD(C)AC1⊥平面CB1D1(D)向量与的夹角为60°解析:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).=(-1,-1,0),=(-1,1,1),=(0,-1,1),=(-1,-1,0),=(1,0,1).对于选项A.由=知结论正确;对于选项B,由·=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0知结论正确;对于选项C,由选项B,易知AC1⊥B1D1,再由·=(-1,1,1)·(-1,0,-1)=0知结论正确;对于选项D,由cos,==-22,知结论不正确.9.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为(B)(A)12(B)24(C)22(D)32解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),O12,12,1.∴=12,-12,-1,=(1,0,1).由于B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,∴B1C⊥平面ABC1D1,因此=n=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量,∴点O到平面ABC1D1的距离d==122=24,故选B.10.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为(C)(A)12,34,13(B)12,32,34(C)43,43,83(D)43,43,73解析:设Q(x,y,z),∵Q在上,故有∥,∴x=λ,y=λ,z=2λ,则Q(λ,λ,2λ),∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴·=6λ2-16λ+10=6(λ-43)2-23,当λ=43时,·取得最小值,此时Q43,43,83,故选C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)11.(2012北京高二模拟)已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,则λ=.解析:由题意知a∥b,∴366132,解得λ=2.答案:212.命题:①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a、b、c共面,则它们所在的直线也共面;③若a与b共线,则存在惟一的实数λ,使b=λa;④若A、B、C三点不共线,O是平面ABC外一点,=13+13+13,则点M一定在平面ABC上,且在△ABC内部.上述命题中的真命题是.解析:当b=0时,①不正确;a,b,c共面于平面α,a,b,c所在直线可能异面,但都与平面α平行,所以②不正确;③不正确,a∥b⇔b=λa,但a≠0;由空间向量基本定理可知④正确.答案:④13.(2012重庆高二上学期质量检测)空间四点O(0,0,0),A(0,0,3),B(0,3,0),C(3,0,0),O点到平面ABC的距离为.解析:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),=(0,0,3),=(0,3,-3),=(3,0,-3),则⇒,.yzxz∴取n=(1,1,1)故所求距离为d==.答案:14.(2012政和高二检测)如图,空间四边形OABC,点M,N分别为OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=.解析:=-=12(+)-12=-12a+12b+12c.答案:-12a+12b+12c三、解答题(本大题共4个小题,共50分)15.(本小题满分12分)已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M、N分别在对角线BD、AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求证:MN∥平面CDE.证明:建立如图所示空间直角坐标系,设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则=++=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量=(0,3b,0),由·=0,得到⊥.因为MN不在平面CDE内,所以NM∥平面CDE.16.(本小题满分12分)(2012浙江温州高二上学期期末联考)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=60°,∠BAA1=∠DAA1=45°.(1)求||;(2)求证:BD⊥平面ACC1A1.(1)解:=++||2=(++)2=+++2(·+·+·)=1+1+1+2-12-22+22=2,∴|BD1|=.(2)证明:=-,·=·(-)=0,则BD⊥AA1,又BD⊥AC,所以BD⊥平面ACC1A1.17.(本小题满分12分)(2013郴州高二检测)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)证明:AC⊥BC1;(2)求二面角C1ABC的余弦值大小.解:在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,故AC,BC,CC1两两垂直,建立空间直角坐标系(如图),则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).(1)证明:=(-3,0,0),=(0,-4,4),∴·=0.故AC⊥BC1.(2)平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),设平面C1AB的一个法向量为n=(x,y,z),=(-3,0,4),=(-3,4,0),由得340,340,xzxy令x=4,则y=3,z=3.∴n=(4,3,3),故cosm,n=334=33434.即二面角C1ABC的余弦值为33434.18.(本小题满分14分)(2011年高考北京卷)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.解:(2)设AC∩BD=O,∵∠BAD=60°,PA=AB=2,∴BO=1,AO=OC=,如图,以O为坐标原点,OB、OC所在直线为x,y轴,以过O点且垂直平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则:P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0),∴=(1,,-2),=(0,2,0),设PB与AC所成的角为θ,则cosθ=|cos,|=||=64.(3)由(2)知,=(-1,,0),设|PA|=t0,则P(0,-,t),∴=(-1,-,t),设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则·m=0,·m=0,即30,30,xyxytz令y=,则x=3,z=6t,∴m=3,,6t,同理可得平面PDC的法向量n=-3,,6t,∵平面PBC⊥平面PDC,∴m·n=0,即-6+236t=0,∴t=,即|PA|=.自我补偿(教师备用)1.(利用空间向量求距离,距离公式不清)在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为(B)(A)34(B)32(C)334(D)解析:建系如图所示,O为BC的中点,则B(0,-1,0),C(0,1,0),A(-,0,0),A1(-,0,1),=(,-1,-1),=(0,2,0),=(,-1,0),设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则n=(1,0,),∴点A到平面A1BC的距离d==33.2.(求向量的模,忘记最后开方)a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=.解析:|5a-b|2=(5a-b)2=25a2+b2-10a·b=25×12+32-10×1×3×-12=49,故|5a-b|=7.答案:73.(用基向量表示向量,不能合理分解向量)如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,M是边OA的中点,G是△ABC的重心,用基向量、、表示向量的表达式为.解析:连接AG,交BC于点D,∵G为△ABC的重心,∴D为BC中点,且=23,=12(+)∴=+=+23=+13(+)=12+13(-+-)=-16+13+13答案:=-16+13+134.(利用向量法求平行与垂直问题时,混淆公式)(1)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值为;(2)若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则p=,q=.解析:(1)ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),若ka+b与2a-b垂直,则(ka+b)·(2a-b)=0,解得k=75.(2)=(1,-1,3),=(p-1,-2,q+4),若三点A,B,C共线,则可设=λ,即1,2,43,pq