原码-反码-补码及运算

原码，反码，补码及运算一、定义1．原码正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。【例2.13】当机器字长为8位二进制数时：X＝＋1011011[X]原码＝01011011Y＝＋1011011[Y]原码＝11011011[＋1]原码＝00000001[－1]原码＝10000001[＋127]原码＝01111111[－127]原码＝11111111原码表示的整数范围是：－（2n-1－1）~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。则：8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋12716位二进制原码表示的整数范围是－32767~＋327672．反码对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。【例2.14】当机器字长为8位二进制数时：X＝＋1011011[X]原码＝01011011[X]反码＝01011011Y＝－1011011[Y]原码＝11011011[Y]反码＝10100100[＋1]反码＝00000001[－1]反码＝11111110[＋127]反码＝01111111[－127]反码＝10000000负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。反码表示的整数范围与原码相同。3．补码正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。引入补码以后，计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与运算。【例2.15】（1）X＝＋1011011（2）Y＝－1011011（1）根据定义有：[X]原码＝01011011[X]补码＝01011011（2）根据定义有：[Y]原码＝11011011[Y]反码＝10100100[Y]补码＝10100101补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。则：8位二进制补码表示的整数范围是－128~＋127（-128表示为10000000，无对应的原码和反码）16位二进制补码表示的整数范围是－32768~＋32767当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。所以补码的设计目的是:⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计4．补码与真值之间的转换正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。【例2.16】[X]补码＝01011001B，[X]补码＝11011001B，分别求其真值X。（1）[X]补码代表的数是正数，其真值：X＝＋1011001B＝＋（1×26＋1×24＋1×23＋1×20）＝＋（64＋16＋8＋1）＝＋（89）D（2）[X]补码代表的数是负数，则真值：X＝－（[1011001]求反＋1）B＝－（0100110＋1）B＝－（0100111）B＝－（1×25＋1×22＋1×21＋1×20）＝－（32＋4＋2＋1）＝－（39）D二、补码加、减运算规则1、运算规则[X＋Y]补=[X]补＋[Y]补[X－Y]补=[X]补＋[－Y]补若已知[Y]补，求[－Y]补的方法是：将[Y]补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。例如：[Y]补=101101[－Y]补=0100112、溢出判断，一般用双符号位进行判断：符号位00表示正数11表示负数结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位用补码求x+y，x－y[x]补+[y]补=001101+111001=000110[x－y]补=[x]补+[－y]补=001101+000111=010100结果错误，正溢出数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制.数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为(-127~-0+0~127)共256个.有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下:假设字长为8bits(1)10-(1)10=(1)10+(-1)10=(0)10(00000001)原+(10000001)原=(10000010)原=(-2)显然不正确.因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应.下面是反码的减法运算:(1)10-(1)10=(1)10+(-1)10=(0)10(00000001)反+(11111110)反=(11111111)反=(-0)有问题.(1)10-(2)10=(1)10+(-2)10=(-1)10(00000001)反+(11111101)反=(11111110)反=(-1)正确问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).于是就引入了补码概念.负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:(-128~0~127)共256个.注意:(-128)没有相对应的原码和反码,(-128)=(10000000)补码的加减运算如下:(1)10-(1)10=(1)10+(-1)10=(0)10(00000001)补+(11111111)补=(00000000)补=(0)正确(1)10-(2)10=(1)10+(-2)10=(-1)10(00000001)补+(11111110)补=(11111111)补=(-1)正确所以补码的设计目的是:⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。1、原码、反码和补码的表示方法（1）原码：在数值前直接加一符号位的表示法。例如：符号位数值位[+7]原=00000111B[-7]原=10000111B注意：a.数0的原码有两种形式：[+0]原=00000000B[-0]原=10000000Bb.8位二进制原码的表示范围：-127～+127（2）反码：正数：正数的反码与原码相同。负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。例如：符号位数值位[+7]反=00000111B[-7]反=11111000B注意：a.数0的反码也有两种形式，即[+0]反=00000000B[-0]反=11111111Bb.8位二进制反码的表示范围：-127～+127（3）补码的表示方法1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。2）补码的表示：正数：正数的补码和原码相同。负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。例如：符号位数值位[+7]补=00000111B[-7]补=11111001B补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：a.采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。b.与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即[0]补=00000000B。c.若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。2．原码、反码和补码之间的转换由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。在此，仅以负数情况分析。（1）已知原码，求补码。例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。10110100原码11001011反码，符号位不变，数值位取反1+111001100补码故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。（2）已知补码，求原码。分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1有方法。例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。解：由[X]补=11101110B知，X为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加1。11101110补码10010001符号位不变，数值位取反1+110010010原码1．3．2有符号数运算时的溢出问题请大家来做两个题目：两正数相加怎么变成了负数？？？1）（+72）+（+98）=？01001000B+72+01100010B+9810101010B-42两负数相加怎么会得出正数？？？2）（-83）+（-80）=？10101101B-83+10110000B-8001011101B+93思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？答案：这是因为发生了溢出。如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是-2n-1≤X≤2n-1-1当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。在计算机中，数据是以补码的