信息论与编码试题集概要

1.在无失真的信源中，信源输出由H(X)来度量；在有失真的信源中，信源输出由R(D)来度量。2.要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先信源编码，然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。3.带限AWGN波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)CWSNR；当归一化信道容量C/W趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时Eb/N0为-1.6dB，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。4.保密系统的密钥量越小，密钥熵H(K)就越小，其密文中含有的关于明文的信息量I(M；C)就越大。5.设输入符号表为X＝{0，1}，输出符号表为Y＝{0，1}。输入信号的概率分布为p＝(1/2，1/2)，失真函数为d(0，0)=d(1，1)=0，d(0，1)=2，d(1，0)=1，则Dmin＝0，R(Dmin)＝1bit/symbol，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x)]＝1001；Dmax＝0.5，R(Dmax)＝0，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x)]＝1010。二、判断题1.可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。（）2.线性码一定包含全零码。（）3.算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。（×）4.某一信源，不管它是否输出符号，只要这些符号具有某些概率特性，就有信息量。（×）5.离散平稳有记忆信源符号序列的平均符号熵随着序列长度L的增大而增大。（×）6.限平均功率最大熵定理指出对于相关矩阵一定的随机矢量X，当它是正态分布时具有最大熵。（）7.循环码的码集中的任何一个码字的循环移位仍是码字。（）8.信道容量是信道中能够传输的最小信息量。（×）9.香农信源编码方法在进行编码时不需要预先计算每个码字的长度。（×）10.在已知收码R的条件下找出可能性最大的发码iC作为译码估计值，这种译码方法叫做最佳译码。（）三、计算题某系统（7，4）码)()(01201230123456cccmmmmcccccccc其三位校验位与信息位的关系为：231013210210cmmmcmmmcmmm（1）求对应的生成矩阵和校验矩阵；（2）计算该码的最小距离；（3）列出可纠差错图案和对应的伴随式；（4）若接收码字R=1110011，求发码。解：1.1000110010001100101110001101G101110011100100111001H2.dmin=33.SE000000000000100000010100000010100000010010100010001110010000011010000011010000004.RHT=[001]接收出错E=0000001R+E=C=1110010(发码)四、计算题已知,XY的联合概率,pxy为：求HX，HY，,HXY，;IXY解:(0)2/3px(1)1/3px(0)1/3py(1)2/3py(1/3,2/3)HXHYH0.918bit/symbol,(1/3,1/3,1/3)HXYH=1.585bit/symbol;()()(,)IXYHXHYHXY0.251bit/symbol01XY011/31/301/3六、计算题若有一信源2.08.021xxPX，每秒钟发出2.55个信源符号。将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输（假设信道是无噪无损的，容量为1bit/二元符号），而信道每秒钟只传递2个二元符号。（1）试问信源不通过编码（即x10,x21在信道中传输）（2）能否直接与信道连接？（3）若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输？（4）试构造一种哈夫曼编码(两个符号一起编码)，（5）使该信源可以在此信道中无失真传输。解：1.不能，此时信源符号通过0，1在信道中传输，2.55二元符号/s2二元符号/s2.从信息率进行比较，2.55*(0.8,0.2)H=1.841*2可以进行无失真传输3.410.640.16*20.2*3iiiKpK1.56二元符号/2个信源符号此时1.56/2*2.55=1.989二元符号/s2二元符号/s七、计算题两个BSC信道的级联如右图所示：（1）写出信道转移矩阵；（2）求这个信道的信道容量。解：（1）22122211(1)2(1)112(1)(1)PPPx1x1x1x2x2x1x2x20.640.160.160.0410111001010.640.20.1601010.640.36010101011111（2）22log2((1))CH信息理论与编码试卷Ａ答案中南大学考试试卷200--2010学年上学期期末考试试题时间100分钟信息论基础课程32学时学分考试形式：闭卷专业年级：通信07级总分100分，占总评成绩70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空题(每空２分，共２0分)１．设Ｘ的取值受限于有限区间［a,b］，则X服从均匀分布时，其熵达到最大；如X的均值为，方差受限为2，则X服从高斯分布时，其熵达到最大。2．信息论不等式：对于任意实数0z，有1lnzz，当且仅当1z时等式成立。3．设信源为X={0，1}，P（0）=1/8，则信源的熵为)8/7(log8/78log8/122比特/符号，如信源发出由m个“0”和（100-m）个“1”构成的序列，序列的自信息量为)8/7(log)100(8log22mm比特/符号。4．离散对称信道输入等概率时，输出为等概分布。5．根据码字所含的码元的个数，编码可分为定长编码和变长编码。6．设DMS为03.007.010.018.025.037.0.654321uuuuuuPUU，用二元符号表}1,0{21xxX对其进行定长编码，若所编的码为{000，001，010，011，100，101}，则编码器输出码元的一维概率)(1xP0.747,)(2xP0.253。二、简答题（30分）１．什么是损失熵、噪声熵？什么是无损信道和确定信道？如输入输出为sr，则它们的分别信道容量为多少？答：将H（X|Y）称为信道},,{|YPXXY的疑义度或损失熵，损失熵为零的信道就是无损信道，信道容量为logr。将H（Y|X）称为信道},,{|YPXXY的噪声熵，噪声熵为零的信道就是确定信道，信道容量为logs。２．信源编码的和信道编码的目的是什么？答：信源编码的作用：（1）符号变换：使信源的输出符号与信道的输入符号相匹配；（2）冗余度压缩：是编码之后的新信源概率均匀化，信息含量效率等于或接近于100%。信道编码的作用：降低平均差错率。３．什么是香农容量公式？为保证足够大的信道容量，可采用哪两种方法？答：香农信道容量公式：)1(log)(02BNPBPCSS，B为白噪声的频带限制，0N为常数，输入X（t）的平均功率受限于SP。由此，为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。４．什么是限失真信源编码？答：有失真信源编码的中心任务：在允许的失真范围内把编码的信息率压缩到最小。三、综合题（20+15+15）１．设随机变量}1,0{},{21xxX和}1,0{},{21yyY的联合概率空间为8/18/38/38/1),(),(),(),(22122111yxyxyxyxPXYXY定义一个新的随机变量YXZ(普通乘积)（1）计算熵H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），以及H（XYZ）；（2）计算条件熵H（X|Y），H（Y|X），H（X|Z），H（Z|X），H（Y|Z），H（Z|Y），H（X|YZ），H（Y|XZ）以及H（Z|XY）；（3）计算平均互信息量I（X；Y），I（X：Z），I（Y：Z），I（X；Y|Z），I（Y；Z|X）以及I（X：，Z|Y）。解：（1）12log2/12log2/1)(12log2/12log2/1)(2222YHXH8/1008/308/308/1111110101100011010001000XYZ8/18/710ZX\Y0101/83/81/213/81/81/21/21/28log8/1)7/8(log8/7)(22ZH8/18/302/111100100XZ8log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222XZH8/18/302/111100100YZ8log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222YZH（2）))3/4(log4/34log4/1(2/1))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222YXH))3/4(log4/34log4/1(2/1))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222XYH)1log10log0(8/1))3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZXH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222XZH)1log10log0(8/1))3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZYH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222YZH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222YZXH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222XZYH0)|(XYZH(3))|()();(YXHXHYXIX\Z0101/201/213/81/81/27/81/8Y\Z0101/201/213/81/81/27/81/8)|()();(ZXHXHZXI)|()();(ZYHYHZYI)|()|()|;(YZXHZXHZYXI)|()|()|;(ZYXHYXHYZXI２．设二元对称信道的输入概率分布分别为]4/14/3[][XP，转移矩阵为3/23/13/13/2|XYP，（１）求信道的输入熵，输出熵，平均互信息量；（２）求信道容量和最佳输入分布；（３）求信道剩余度。解：（1）信道的输入熵4log4/1)3/4(log4/3)(22XH；6/112/14/12/1][XYP]12/512/7[][YP)5/12(log12/5)7/12(log12/7)(22YH)6/1,12/1(4/1)4/1,2/1(4/3)|(HHXYH)|()();(XYHYHYXI（2）最佳输入分布为]2/12/1[][XP，此时信道的容量为)3/1,3/2(1HC(3)信道的剩余度：);(YXIC1．信息的基本概念在于它的不确定性。2．按照信源发出的消息在时间和幅度上的分布情况，可将信源分成离散信源和连续信源两大类。3．一个随机事件的自信息量定义为其出现概率对数的负值。4．按树图法构成的码一定满足即时码的定义。5．有扰离散信道编码定理称为香农第二极限定理。6．纠错码的检、纠错能力是指检测、纠正错误码元的数目。7．信道一般指传输信息的物理媒介，分为有线信道和无线信道。8．信源编码的主要目的是提高通信系统的有效性。二、选择题（共10分，每题2分）1.给定xi条件下随机事件yj所包含的不确定度和条件自信息量p(yj