6+第六章格林函数+1-4节

1第六章基本解和格林函数法•第一节泊松方程及其基本解•第二节解拉普拉斯第一边值问题的格林函数法•第三节特殊区域上的格林函数•第四节平面特殊区域的格林函数2第一节泊松方程及其基本解一、泊松方程描述有源静电场及定常稳恒温度场的分布等稳定的平衡物理现象的泊松方程：222222(,,)uuufxyzxyz简写为,uf2().uf如果0f得到拉普拉斯方程：32222220uuuxyz简写为0u例一：如果在某个物体中有(与时间无关)定常的2(0).u热源分布，其密度为(,,),kfxyz此处k为导热系数，物体中温度分布(,,)uuxyz已经稳定，便有0,ut对应的三维热传导方程为4(,,)0kkufxyzcc.uf或其中f为已知函数，这是泊松方程。如果没有热源，即0f则0,u我们得到拉普拉斯方程。例二：设在一真空空间区域中存在一个5静电场(,,),Exyz电荷的密度分布函数为(,,),xyz根据静电学中的基本定律，有divEE且0.rotEE这个静电场是无旋的，那么必定是有势的，即存在一个电位函数：(,,)uuxyz使得,Egradu(斯托克斯定理)(高斯定理)把这个式子代到第一个方程中去，则6(,,).uxyz如果此空间中无电荷存在，即(,,)0,xyz我们就得到拉普拉斯方程：0.u附:电场的高斯定理:穿过闭合曲线S向外的电通量等于闭合曲线所围空间T中的电量的倍,为真空介电常数,即01001STEdSdV7把上式左面的积分改为体积积分可得01TTEdVdV再由T的任意性可得01.divEE斯托克斯定理:对任意闭合路径L及其围成的曲面S，有.LSEdlrotEdS8若矢量场E沿任意闭合路径L的环量恒为零—保守场，它就是无旋场.由静电场的环路定理和斯托克斯定理可得0.rotEE再由空间曲线积分和路线的无关性可得存在u(x,y,z),使静电场的环路定理:0.LEdl静电场是一个保守场,即对任意闭合路径L,E的环量均为零,.Egradu9特别情形：例三:若在整个空间中只有一个单位正电荷，放置在坐标原点，即电荷密度分布函数为函数，这时电位u满足方程:(,,),uxyz从静电学知，其电位函数为1,4r此处222.rxyz因此，14(,,).xyzr形式上，上式可作如下推导：10设未知函数u满足方程(,,),uxyz两边同时作傅里叶变换：(,,)[(,,)]uxyzFuxyz(,,)exp[()]uxyzixyzdxdydz根据傅里叶变换的性质可得222[](),Fuu[(,,)]Fxyz(,,)exp[()]1.xyzixyzdxdydz(,,)uxyz方程可变换为11222()1u或22221,.u作傅里叶逆变换，1(,,)[(,,)]uxyzFuxyz31(,,)exp[()]8uixyzddd3211exp[()]8ixyzddd(,,)在空间中取定点0(,,)Mxyz及动点(,,),M以r和分别表示由坐标原点指向这两个点的矢径，12表示它们的夹角，则cosrxyzr适当选择坐标系(,,),使轴与点0(,,)Mxyz的方向r重合,并在积分中采用球坐标：sincos,sinsin,cos.体积元2sindddddd那么132cos30001(,,)sin8iruxyzddedcos2001sin4irded2014irireedri201sin2dr0sin()2d211224rr1414(,,).xyzr所以二、泊松方程的基本解若任意一个函数满足0,g则函数14gr也是(,,)uxyz的解.所以14r不是方程(,,)uxyz的唯一解.(,,)uxyz的任何解均可表示成形式1.4gr15定义:将方程(,,)uxyz的解称为泊松方程或拉普拉斯方程的基本解。如果点电荷放在点(,,)P处，则在任意一点(,,)Qxyz处的电位为14pqur22211.4()()()xyz即1(,,).4pqxyzr16如果已经知道了泊松方程uf的一个基本解(,,),Gxyz即它满足方程(,,)Gxyz则卷积000000000(,,)(,,)(,,)GfxyzGxxyyzzfxyzdxdydz是泊松方程uf的一个解。证明：由于G满足方程(,,),Gxyz17则000(,,)Gxxyyzz000(,,)xxyyzz那么，000()(,,)GfGxxyyzz000000(,,)fxyzdxdydz000(,,)xxyyzz000000(,,)fxyzdxdydz(,,).fxyz所以Gf为泊松方程uf的解。18第二节解拉普拉斯第一边值问题的格林函数法一、格林公式格林(Green)公式的推导。设是三维空间中的某一个有界区域，S为其边界，u及v在S上具有二阶连续偏导数，则第一格林公式Svuvduduvdn19第二格林公式()Svuuvvuduvdnn其中,ijkxyzn为S的外法线方向的方向向量，n表示沿n方向的方向导数：cos(,)cos(,)cos(,)uuuunxnynznxyz20证明：高斯公式PQRdxyzcos(,)cos(,)cos(,)SPnxQnyRnzd其成立条件是P,Q,R在S上具有一阶连续偏导数。注意到222222vvvuvuxyzvvvuuuxxyyzz.uvuvuvxxyyzz21将上式两端在区域上积分，并对右端第一个积分运用高斯公式，即vvvuuudxxyyzzcos(,)cos(,)cos(,)Svvvunxunyunzdxyz.Svudn(,,.)vvvPuQuRuxyz22uvuvuvuvxxyyzz因为则对于vvvuvuuuuvxxyyzz上式的积分为Svuvduduvdn从而证明了第一格林公式。23在第一格林公式中将u和v对换，得到将两式相减得第二格林公式.Suvudvdvudn().Svuuvvuduvdnn二泊松方程的第一边值问题及其格林函数求出泊松方程第一边值问题Suuf的解.24第一边值问题也称为狄里克莱问题如果0,则问题变为拉普拉斯第一边值问题：0,(),()SuufS在内在上附:调和函数:称具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程的函数为调和函数。所以：拉普拉斯第一边值问题变为---在区域上找一个调和函数，使它在边界S上的值为已知函数。25下面求解,为此首先引进格林函数的概念(,,)0SGxyzG称满足定解问题或0()0SGrrG的函数为泊松方程第一边值问题的格林函数,其中是区域中一个任意固定的点.00(,,)()MMr假设已经求出格林函数G,那么26(,,)u(,,)(,,)uxyzxyzdxdydzuGd由第二格林公式,则上式变为(,,)SGuuuGdGudnn但,u在S上,0.ufG所以可得(,,).SGufdGdn＋对于拉普拉斯第一边值问题，如果0,27上式可写为三、格林函数的物理意义(,,)SGufdn其中G也可称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数.把区域的边界考虑为一个金属壳体，并把它用导线接地，并在内一点(,,)P放置一个单位正电荷，令(,)(,,)VPQVxyz表示这个静电场的电位函数，由于现在电荷是集中在一点的，可用函数来表示电荷分布密度，28因此电位函数V应该满足方程(,,)Vxyz(在内)，由于边界接地，在边界上有0.SV由此可见，格林函数就是这么一个电场的电位。29第三节特殊区域上的格林函数格林函数法对于求解泊松方程和拉普拉斯方程的第一边值问题有着重要的应用.对于某些特殊的区域，其格林函数的求解可用“镜像法”或“位像法”求得.镜像法”----寻找相对于曲面的“对称”的两点，在曲面内的一点放置一个单位正电荷，而在曲面外“对称”的点处放置一个电量适当的负电荷，使得这两个正负电荷产生的电位在曲面上互相抵消，它们产生的电位的代数和就是所要求的格林函数。30一、半空间上的格林函数上半空间区域上的格林函数满足00(),00zGrrzG在半空间0z上取一点0000(,,),Mxyz令2220000rxyz表示自原点到该点的距离，并在该点放置一个单位正电荷，它所形成的静电场在任何一点处的电位函数为(,,)Mxyz022200011144()()()MMrxxyyzz31并且000001(,,)()4MMxxyyzzrrr即函数014MMr满足方程0(),Grr但是它不是格林函数，因为它在边界平面0z上不为零。设1111(,,)Mxyz为点0000(,,)Mxyz关于平面0z的对称点，并在点1M处放置一个单位负电荷，这样，该负电荷所形成的静电场在点(,,)Mxyz32的电位为122211111144()()()MMrxxyyzz并且111111(,,)(),4MMxxyyzzrrr若0,z即点M位于平面上，则有01110.MMMMrr33说明这两个电荷所形成的电位在平面0z上相互抵消。令01011(,),44MMMMGMMrr注意到点1M位于半空间0z之外，则函数G满足00(),00zGrrzG这说明G为所求之格林函数。34有了格林函数，定解问题00,0(,)zuzufxy的解可表示为0(,,),zGufdSn此处n为沿平面0z的“外”法线方向的方向向量。平面0z对于区域0z的“外”法线方向即为垂直向下的方向，所以00zzGGnz35032222000014zzzxxyyzz032222000014zzzxxyyzz032222000124zxxyy