奥数专题-时钟问题

奥数专题时钟问题第一部分基础知识点部分【开门见山这一段话多半录自百度百科】时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。不同在于时钟问题有别于其他行程问题是：它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟：1.整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度；时针速度：每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度速度差：每分钟6-0.5=5.5度；每分钟1-1/12=11/12小格2.需要注意的是在许多时钟问题中，往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比例关系，在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。当你做过一个题目后，这个十字交叉法其实没有啥精妙之处，与浓度问题中的十字交叉类似，实际就是个一元一次方程变种格式而已。【温故知新】追击问题的三个特点：同时出发；同向而行；同时停止。追击问题的重要公式：路程差除以时间差=追击时间。常用的等量关系：快者路程-慢者路程=距离；在实际题目中，路程差相对变化多一些，主要的类型有：重合问题（路程）例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65又11分之5分。认识钟面：时钟问题解法与算法公式：时钟问题的关键点：时针每小时走30度;分针每分钟走6度分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。***************************************************************************第二部分以知促行【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A．1次B．2次C．3次D．4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为----。【解法1】时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以【解法2】常规方法设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。著名数学难题：时钟的时针和分针（了解）由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，介绍几例，研究解法。例1在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12x－x=60m，其中m=1，2，…．度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出它们:如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。解：（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）答：2点10分时，两针重合。2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。解：（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。解：（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12点32分。第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即1点38分。第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）即2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷。解：5×（17－12）＝27（分）27÷＝30（分）答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。【其他例题】例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A.30度B.60度C.90度D.150度［答案］D［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A.10B.11C.12D.13［答案］B［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。因此，时针与分针重合了11次。选择B。［解二］根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（）#中国公务员考试信息网A.51B.47C.45D.43［答案］A［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小时，约合1小时51分。【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A.10点15分B.10点19分C.10点20分D.10点25分［答案］A［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面