工程硕士复习

1工程硕士复习上海交通大学应用数学系张忆2第一讲函数极限§1函数一、定义P183例1,为相同的函数。21121uufufux2112xxfxf3132312xxxf例2设f(x)在（-∞,+∞）有定义，且满足2f(x)+f(1-x)=x2试求f(x)的表达式。即：从得：2211212xxfxfxxfxf22yyxxeexeey与证：令32xexfxxf1)]([0x　x2)(xexf)(2)]([xexfxex1)(2)1ln()(xx010)1ln(xx例3已知:,且求:解：∵∴据题意有又：从而有定义域：即x≤0且写出它的定义域0x　第一讲函数极限4例4如f(x)的定义域为[0，1]，则f(x+a)+f(x-a)定义域[a,1-a]1ln2xxyyexx1212xxeyyyeex21xxeey21例5求:函数的反函数①②∴反函数解：①-②第一讲函数极限21)(0a5第一讲函数极限21xx、21xx21xfxf21xfxf二、函数的几种特性（P183）1、单调性：f(x)区间I上有定义，为I上任意两点。，如恒有则称f(x)在I上单调增加（减少）设例P536考题62、有界性设函数y=f(x)在区间I上有定义。如存在M0，使得IxMxf,　则称f(x)在区间I上有界，否则称f(x)在I上无界。例P184练习一：3、46第一讲函数极限3、奇偶性：设f(x)的定义域Z关于原点对称，如恒有:f(-x)=f(x)x∈Z，称f(x)为偶函数，图形对称y轴f(-x)=-f(x)x∈Z，称f(x)为奇函数，图形对称原点例1：证明：)1ln()(2xxxf为奇函数)1ln()(),()1ln(11ln)1ln()(2222xxxfxfxxxxxxxf)(xf0x)1()(xxxf0x0x)1()(xxxf例2：已知：为奇函数，且当时，求：)(xf0x在时的表达式解：，)1()()(xxxfxf为奇函数7第一讲函数极限4、周期性设函数f(x)的定义域为X，如存在常数T≠0,使得x∈Z时，必有x±T∈Z,且恒有f(x)=f(x+T),x∈X,则称f(x)为周期函数,使上式成立的最小正数T为该函数的周期。8第一讲函数极限n.53uxyxyxyxyxy1,,,32,00,0log　　　　aaxya三、初等函数1、基本初等函数(P183)(1)常函数y=c(-∞，+∞)偶函数;(2)幂函数定义域随u不同而不同,(3)指数函数过（0，1）是指数函数(4)对数函数0,0,0logloglogayxyxxyaaa　　xuxxyxyauaaaalogloglogloglog　　xexln反函数常用性质0,1,0xxaaaay9第一讲函数极限xxcos1secxxsin1csc1tansec22xx1cossin22xxxxxcossin22sinxxx22sincos2cosxx22sin211cos2xx2cos121sin2xx2cos121cos2(5)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx常用公式：，，降幂公式：，，xxx2cos12122cos121cos2x2cos例∴的周期为π。10第一讲函数极限(6)反三角函数y=arccosx(-1≤x≤1,0≤y≤π)y=arccotx(-∞x+∞,0yπ)都有界y=arctanx(-∞x+∞,22y)-)22≤y≤-(-1≤x≤1,y=arcsinx11第一讲函数极限32lnxy,23x∈uylnu∈(0,+∞),ux=2+3,x∈(-∞,+∞)复合函数则*X2、复合函数例1xu复合而成的函数。xfy称为由y=f(u),则xx∈X定义：y=f(u)u∈su=*X,u∈s,X,当x∈12第一讲函数极限xexgxxxxf　　　　　　　　　　　　　1,11,01,1例2设求：解：xfgxgf　；-1,11,01,1xxxxeeeefxgf　　　　　　0,10,00,11,11,01,1xxxeeexxx　　　　　　　　　　　　　　　　1,11,11,1,1,1,101xexxexexexeexfgxf　　　　　　　　　　　　　　13第一讲函数极限xyxyxy１２　　sin232,lglglg,1lnxwwvvuyxvvuuyxvvuuyu1,sin,,2)3(ln21,ln,ln)2(1,ln,)1(223　　　　　　　　　　　　　　　　　例3函数由那些函数复合而成解：3、初等函数定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的并能用一个分析式子表示的函数。14第一讲函数极限0lim0nnnnnxaxyxaaxxyyaxnnnnnnnn)(limlim,lim§2极限与连续一、数列的极限P1851，2，3，4例设：nnyax0)(limnnnxy，且则nxny与A、都收敛于a，B、都收敛，不一定收敛于a，C、可能收敛，可能发散，D、都发散。选A：15第一讲函数极限AxfxxxxxxAxfxfAxfAxfxxxxxx)()2()(lim)(lim)(lim)()1(000AxfxfAxfxxxxxx000limlimlim二、函数极限P186211lim21lim211xxxxx先看例1极限定义16第一讲函数极限012YX例41lim332lim3003xxxxxx　　的变化趋势。时而极限定义中有定义没有关系，因此是否有元极限与函数在说明函数在xfxx0xx0xx0xx017第一讲函数极限2．函数极限性质（同数列）3．函数极限运算（1）四则运算（2）存在准则同数列（3）复合函数AufxfAufuxuuxxuuxx)(lim)]([lim)(lim,)(lim00000（4）两个重要极限4．无穷小量与无穷大量P18718第一讲函数极限012000112xxxxxxf　　　　　　　　　　　　　212limlim00xxfxx0112limlim00xxfxx　xfxfxx00limlim极限不存在。在0xxf例1在x=0极限是否存在？∵∴解：　　　　　　　212222xxxxxxf例2问f(x)在x=2极限是否存在？解：31lim22limlim2222xxxxxfxxx∵存在∴问x)f(19第一讲函数极限xxe10limxxe10lim0lim10xxexxarctanlim例3不存在例4不存在解：解：2arctanlim2arctanlimxx24222sinlim222sinlim0000xxxxxxx例522221lim21limexxxxxx2321lim21limexxxxxx　例620第一讲函数极限22)(2x10xx10xe2x)(1lim2x)(1limee)12x2(1lim)12x32x(lim12x2xlim12x2x212xxxxx310lim3)11(30lim1)1131(10lim1)213(0limexxxxexxxexexxxexxxxex10250lim2)15(30lim11320limxxxxxexexxxexex例7例8例9例1021第一讲函数极限n-22nn22n)2nx2nx(1lim)2nxnx(1lim2120lim1cos0lim1)1cos1(0limcos0limexxxexxxexxxxxx例11例12x-2nnxx-2nlim(-n)2nx2nxlimeee222n22n22第一讲函数极限231x1-xlim231x11-x1))-(x(1lnlim31xx3lnlim1x1x21x2x2x2x20x2220xeln-)e(xlneln-)(xlnlim)00(2)(xln)(xlnlimxxxexexe)ex(1ln)ex(1lnlim2x2x20x1e/x/xlim2x220xxe302030502012231232lim)12()23()32(limxxxxxxxxx30302023231例13例14例1523第一讲函数极限0)(11lim2baxxxxba,0)cos1(cos1lim0xxxxxxxxxcos112cos1lim021cos1122lim220xxxx1321321lim3232lim11111nnnnnnnn例16已知求解：原式必须分子次数分母次数例18例191100101)1()()1(lim2babaaxbxbaxax24第一讲函数极限2)13(lim2bxaxxxba,221931lim1931limxxbxbbxxxbxxx6b212b，求之值0分母0)13(lim2xxbax9a∴当即将∴例20已知解一:原式2113lim)13(lim22xxxbaxxbaxxx9a代入原式并有理化得25第一讲函数极限2131)9(lim22bxaxxbxxax129ba解二:原式为型，得∴513)2sin)(1ln(lim0xxxxf20)(limxxfx53ln2sin)(lim0xxxfx53ln2)(lim20xxfx3ln10)(lim20xxfx例21已知求解可得即2309aba0)2sin)(1ln(lim513)2sin)(1ln(lim01300xxfxxfxxxx26第一讲函数极限0xΔ0yΔ0xxxfxflim0三、连续1、定义(1)(2)xfy0xx在处的连续性}Δyx0+Δxx00y=f(x)xyx0+Δxx00xy即满足：0xxxfxflim0iii存在0xfI存在iixflim0xx存在27第一讲函数极限2、基本结论(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；(2)连续函数复合函