《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件

空间向量的正交分解及其坐标表示1212121122eeeeee如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。（、叫做表示这一平面内所有向量的一组。不共线＝)＋基底aa平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoji(1,0),(0,1),0(0,0).ij【温故知新】问题：p我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,abxyzOijkQPp由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。,,ijkp,,xiyjzk,,ijkp探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？,,ijk任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使,,abcp.pxaybzc都叫做基向量,,abc(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示:对于基底除了应知道不共面，还应明确：(2)由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。00(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。,,,abc,,abc1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习123123112233,,++=0eeeReee：若是空间内一组基底，，，若论，结，123===0.恒有练2设且是空间的一个基底,给出下列向量组①②③④,②其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案C二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。xyzOe1e2e3二、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)例1平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MNABCDA1B1D1C1MN解:连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=(2b+c)13=(－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.练习1,3GABCOGOAOBOC：若为的，O为空间中任意一点，则=心+结重+论0AGBGCG且有小结与作业:习题3.1A组第11题