教案编号11(3.1-洛必达法则-)

1教案编号:NO:11课题:第三章导数的应用第一节洛必达法则教学时间:教学班级:授课类型:讲授新课教学目的的要求:1．应用洛必达法则求“00”型和“”型及其他型未定式的极限；2．通过法则及例题的讲解，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力；3.培养学生感受数学的美，激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣；通过例题及课堂练习培养学生养成虚心的学习态度及细心的做事习惯；通过讨论，提高学生的交流合作的意识。教学重点:“00”型和“”型未定式应用洛必达法则求极限方法及步骤。教学难点:洛必达法则使用的前提条件的理解。“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结慨括”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。2教学过程：一、新课引入：课题引入：1、复习极限的求解方法。（1）利用函数的连续性求极限；设函数)(xf是初等函数，定义域为),(ba，若),(0bax，则)()(0lim0xfxfxx。（2）当函数)(xfy在点0x处连续时，可以交换函数符号和极限符号，即)()(limlim00xxxxxfxf（3）利用无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小求极限。（4）利用无穷小与无穷大的倒数关系求极限。（5）利用两个重要极限求极限，即：1sinlim0xxx；exxx)11(lim或ettt10)1(lim2、指出上述求极限方法的局限性，提出使用洛必达法则的必要性。在求极限的过程当中常常遇到这样的情形，即在同一变化过程中分子分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形，这时分式的极限可能存在也可能不存在。通常分别称这两类极限为“00”型和“”型未定式，对于这样的未定式即使极限存在也不利用能直接应用极限法则来计算，往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限法则或重要极限计算的形式，但是这种变形往往很难，也往往无效，所以下面我们介绍的洛必达法则将提供一种简便、可行、具有一般性的求未定式极限的方法。二、讲授新课洛必达法则定理1（洛必达法则Ⅰ）若函数)(),(xgxf满足条件：(1);0)(lim,0)(limxgxf(2))(),(xgxf在点0x的某个邻域内(点0x可除外)可导,且0)(0xg;(3)Axgxf)()(lim(或)则Axgxfxgxf)()(lim)()(lim(或).定理2（洛必达法则Ⅱ）若函数)(),(xgxf满足条件：(1);)(lim,)(limxgxfydy3(2))(),(xgxf在点0x的某个邻域内(点0x可除外)可导,且0)(0xg;(3)Axgxf)()(lim(或)则Axgxfxgxf)()(lim)()(lim(或).注:上面洛必达法则中的极限形式中,对于第一章里的任何一种极限形式都适用.三、例题讲解例1求xxx2sinlim0.解此极限是00型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ条件，即xxx2sinlim0=12cos2lim0xx=2例2求xexx31lim0.解此极限是00型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ条件，即xexx31lim0=313lim0xxe例3求2lnlimxxx.解此极限是型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ条件，即2lnlimxxx=xxx21lim=021lim2xx例4求xexx2lim.解此极限是型，所以先对分式分子分母分别求导，符合洛必达法则Ⅰ条件，即xexx2lim=2limxxe4洛必达法则可以用来求00、型未定式极限,其他形式的未定式均要化成00、型后,才可以使用洛必达法则,并且使用一次就要整理,然后判断是否可以继续使用.洛必达法则可以使一些问题简化,但洛必达法则不是万能的,有些问题虽满足洛必达法则条件,但是用此方法却求不出极限,所以当用洛必达法则行不通时,我们要采用其他方法,因为不能用洛必达法则求出的极限不一定不存在。（如例6）例5求xxxlnlim0.解此极限是0型，首先将其化为，再按照洛必达法则Ⅱ求其极限，即xxxlnlim0=xxx1lnlim0=2011limxxx)(lim0xx=0例6求1sinlimxxxx解我们容易看到，当x时，xxsin极限不存在，所以不满足用洛必达法则条件，不能对其分子分母直接求导。通过适当处理，使其分子分母极限存在，即1sinlimxxxx=xxxx11sin1lim=1本题虽然也满足洛必达法则但使用洛必达法则求不出极限,我们要选用其他方法.所以对于具体的问题要具体分析。四、课堂练习：1.练习：习题3-1（奇数题）2.（1）求xxxx201elim…(00)解：当0x时，有01ex和02x，这是00型未定式．由洛必达法则xxxx201elim=12elim0xxx=-1（2）求30cos1limxxx…(00)解：当0x时，有0cos1x和03x，这是00型未定式．由洛必达法则30cos1limxxx=203sinxlimxx=xx6cosxlim05（3）求xxxlncotlnlim0……()解：当0x时，有xcotln和0lnx，这是型未定式．由洛必达法则xxxlncotlnlim0=xxxx1)sin1(tanlim20=xxxxsincoslim0=-1（4）求nxxxlnlim…()解：当x时，有xln和nx，这是型未定式．由洛必达法则nxxxlnlim=11limnxnxx=01limnxnx（5）求12713lim22xxxxx…（）解：12713lim22xxxxx=21416limxxx=146limx=73五、课时小结：小结：洛必达法则使用的基本步骤为：（1）分析未定式是“00”和“”型；（2）分子分母分别求导；（3）整理六、课后作业：习题3-1（偶数题）七、板书设计：第一节洛必达法则一、洛必达法则Ⅰ二、洛必达法则Ⅱ例题练习（副板书）八、课后分析：