高中数学2.2.2换底公式导学案设计

2.2.2换底公式学习目标重点难点1．能记住换底公式，并会证明换底公式；2．会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题；3．能综合利用对数的相关知识解决问题.重点：换底公式的应用——求值和化简；难点：用换底公式和对数运算性质解决综合问题.1．对数的换底公式换底公式：logaN＝logcNlogca(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．最常用的换底公式是logaN＝lgNlga和logaN＝lnNlna.预习交流1换底公式的意义是什么？提示：换底公式的意义主要体现在化简和求值两个方面：化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用运算法则进行化简与求值．求值：在实际问题中，把底数换成10或e，可利用计算器或对数表得到结果．预习交流2除了课本中的方法，你还用其他方法证明换底公式吗？提示：令logcNlogca＝x，则logcN＝xlogca＝logcax，因此ax＝N，∴x＝logaN，即logaN＝logcNlogca.2．换底公式的两个重要推论(1)logmnab＝nmlogab.(2)logab＝1logba.一、利用换底公式求值或化简求解下列各题：(1)化简(log43＋log83)lg2lg3；(2)已知log1227＝a，求log616的值．思路分析：对于(1)有两种思路：一是直接利用换底公式，将log43与log83都化为常用对数，然后进行化简；二是考虑到4和8都是2的幂的形式，因此可利用换底公式的变形，再将lg2lg3逆用换底公式，然后即可化简求值．对于(2)，也有两种思路：一是直接利用换底公式，结合对数运算法则，寻求lg2与lg3的关系，然后代入化简；二是将对数log1227及log616的底数及真数进行分解变形，发现它们之间的关系，然后代入化简．解：(1)方法一：原式＝lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＝lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＝lg32lg2·lg2lg3＋lg33lg2·lg2lg3＝12＋13＝56.方法二：原式＝2322(log3log3)＋·log32＝12log23＋13log23·log32＝56log23·log32＝56.(2)方法一：由log1227＝a，得3lg32lg2＋lg3＝a，∴lg2＝3－a2alg3.∴log616＝lg16lg6＝4lg2lg2＋lg3＝4×3－a2a1＋3－a2a＝4(3－a)3＋a.方法二：由于log1227＝log1233＝3log123＝a，∴log123＝a3.于是log312＝3a，即1＋2log32＝3a.因此log32＝3－a2a.而log616＝4log62＝4log26＝41＋log23＝41＋1log32＝41＋2a3－a＝4(3－a)3＋a.故log616＝4(3－a)3＋a.1．求值：log89·log2732.解：方法一：log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.方法二：log89·log2732＝332523log3log2＝23log23·53log32＝109.2．已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.解：∵log23＝a，∴log37＝log27log23＝log27a＝b.∴log27＝ab.∴log1456＝log256log214＝log28＋log27log22＋log27＝3＋log271＋log27＝3＋ab1＋ab.1．利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logmnab＝nmlogab.对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．二、利用对数的换底公式证明等式已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：2a＋1b＝2c.思路分析：由于题目中涉及的字母均出现在幂式的幂指数上，因此可设出幂的结果，将指数式转化为对数式，然后利用换底公式及对数运算性质进行证明．证明：不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.则由换底公式可得1a＝logm3，1b＝logm4，1c＝logm6，于是2a＋1b＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝2c.因此等式成立．已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.证明：由已知可得m＝log210，n＝log510，因此1m＝lg2，1n＝lg5，于是1m＋1n＝lg2＋lg5＝lg10＝1，即n＋mmn＝1，故m＋n＝mn.1．在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝1logba进行变换．三、对数换底公式的综合应用(1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求1a－1b的值；(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logabc的值．思路分析：由题目可获取以下主要信息：第(1)题中的两个指数式的底数不同，指数式的值相同．第(2)题方程的两根为对数式，所求式子涉及的字母都在表示两根的式子之中．解答第(1)题需将指数式化为对数式，解答第(2)题需利用一元二次方程根与系数的关系列出式子，再利用换底公式与所求的式子联系起来，进行求解．解：(1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000，即a·lg11.2＝3，于是1a＝13lg11.2.同理可得1b＝13lg0.0112.于是1a－1b＝13lg11.2－13lg0.0112＝13lg11.20.0112＝13lg1000＝13×3＝1.(2)由根与系数的关系可得logac＋logbc＝3，logac·logbc＝1，由换底公式可知1logca＋1logcb＝3，1logca·1logcb＝1.因此logca·logcb＝1，logca＋logcb＝3.所以logabc＝1logcab＝1logca－logcb＝1±(logca＋logcb)2－4logca·logcb＝±55.设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()．A．10B．10C．20D．100答案：A解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10.∵1a＋1b＝2.∴logm10＝2.故m2＝10，又m＞0，∴m＝10，选A．对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识．1．下列各式中错误的是()．A．logab·logba＝1B．logcd＝1logdcC．logcd·logdf＝logcfD．logab＝logbclogac答案：D2．(2012安徽高考，文3)(log29)·(log34)＝()．A．14B．12C．2D．4答案：D解析：原式＝(log232)·(log322)＝4(log23)·(log32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.3．化简1log23＋1log43的结果为()．A．log38B．log83C．log36D．log63答案：A解析：原式＝log32＋log34＝log38，故选A．4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为()．A．a－bB．abC．abD．a＋b答案：B解析：log32＝lg2lg3＝ab，故选B．5．若3x＝6y＝2，则1x－1y的值为__________．答案：－1解析：由于3x＝6y＝2，所以x＝log32，y＝log62.于是1x＝log23，1y＝log26，于是1x－1y＝log23－log26＝log236＝log212＝－1.