第二章1分布函数

概率论一、分布函数的定义如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的],(x概率.xoxXX设X是一个r.v，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数,记作F(x).概率论分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.xxXPxF),()((1)F(x)是r.vX取值不大于x的概率，其取值是确定的.注意:概率论(2)对任意实数x1x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.（]x1x2]]（]).()(}{}{}{121221xFxFxXPxXPxXxP概率论)()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP)0()()]()([lim)(lim)(00aFaFaFaFaXaPaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请填空概率论二、分布函数的性质,,上是一个不减函数在xF(1);,,,212121xFxFxxxx都有且即对21FxFx120PxXx概率论如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)右连续，即)()(lim)0(00xFxFxFxx(2)xoXxxx()FlimxFxlimxFx()F01概率论试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例1设有函数F(x)其它00sin)(xxxF不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者0)(lim)(xFFx解注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.],2/[概率论练习F1(x)和F2(x)都是分布函数，为使C1F1(x)–C2F2(x)是分布函数，C1和C2应取下列哪组值（）。2123)(21CCC3132)(21CCD2123)(21CCA3132)(21CCB√1)]()([lim212211CCxFCxFCx概率论3）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是A）211)(xxFB）xxFarctan121)(C）)(xF0,00),1(5.0xxexD）dttpxFx)()(，其中1)(dttp的性质由解：)(xF1)(0xF不减)(xF0)(F1)(F右连续)(xF正确得以及Bxp0)(B概率论例2设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的性质，我们有xBarctgxAxFBABarctgxAxFxx2limlim0试求常数A、B。BABarctgxAxFxx2limlim1概率论解方程组1202BABA得解．，121BA概率论例3F(x)=P(Xx)解设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布函数，（2）画出分布函数的图形。2,1,0XX的所有可能取值为：}0{XP315313CC3522}1{XP31512213CCC3512}2{XP31522113CCC351概率论当1x2时，F(x)当x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=10x12XxxX当x0时，{Xx}=，故F(x)=0当0x1时，F(x)=P{Xx}=0x12xxXX}0{XP3522}0{XP}1{XP3534F(x)=P(Xx)概率论故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,353410,35220,0)(xxxxxF概率论1201)(xF的分布函数图xy35223534概率论解设F(x)为X的分布函数，当x0时，F(x)=P(Xx)=00a当xa时，F(x)=1例4在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)由于P(0Xa)=1ka=1，k=1/aF(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=x/a概率论0,0(),01,xxFxxaaxa故这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的随机变量的分布函数.概率论精品课件！概率论精品课件！概率论三、布置作业1.《概率统计》练习册习题6;2.《概率统计》P59:3,5,6;