2.4.1二次函数性质的再研究(北师大版)

二次函数性质再研究教学目标：1、理解二次函数顶点式2()(0)yaxhka中各参数对图形影响作用；2、领会二次函数图像平移的方法，并能迁移到其他图像的研究;重点难点：1．教学重点：二次函数图像平移变换规律及应用2．教学难点：理解平移对解析式的影响及如何利用平移变换规律求解析式，并能把平移变换规律迁移到一般函数．教学过程：一、课前预习：1.定义⑴形如)0(2acbxaxy的函数叫作二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。解析式)0(2acbxaxy称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式：顶点式：2()(0)yaxhka零点式：12()()(0)yaxxxxa⑵说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式。2.图像变换⑴首先将二次函数的解析式整理成顶点式2()(0)yaxhka，再由二次函数2xy的图像经过下列的变换得到：①将函数2xy的图像上各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数)0(2aaxy的图像。知识拓展：函数()yfx的图像上各点的纵坐标变为原来的a(0)a倍，横坐标不变，得到函数()yafx的图像②将函数)0(2aaxy的图像向左(0)h或向右(0)h平移||h个单位得到2()yaxh知识拓展：函数()yfx的图像向左平移a(0)a个单位，得到函数()yfxa的图像；函数()yfx的图像向右平移a(0)a个单位，得到函数()yfxa的图像。简称为：“左加（+）右减（-）”③将函数2()yaxh的图像向上(0)k或向下(0)k平移||k个单位得到2()yaxhk的图像。知识拓展：函数()yfx的图像向上平移b(0)b个单位，得到函数()yfxb的图像；将函数()yfx的图像向下平移b(0)b个单位，得到函数()yfxb的图像。简称为：“上加（+）下减（-）”⑵一般地，二次函数2()(0)yaxhka，a决定了二次函数的开口大小和方向；h决定了二次函数的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。二、核心解读：怎样快速画二次函数图像的草图？剖析：例如画函数2246yxx的草图。函数的解析式化为顶点式22(1)8yx，可得顶点坐标(1,8)，与x轴的焦点是点(1,0)和点(3,0)；对称轴是直线1x；抛物线的开口向上。画法步骤：⑴描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1,8)、(1,0)、(3,0)，画出直线1x；⑵连线：用光滑的曲线连点(1,8)、(1,0)、(3,0)，在连线的过程中，要保持关系关于直线1x对称，即得函数2246yxx的草图。由此可见，画抛物线时，重点体现抛物线的特征：“三点一线一开口”，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向。根据这些特征在坐标系中可快速画出抛物线的草图。三、典型例题：题型一求二次函数的解析式【例1】已知()fx是二次函数，且满足(0)1f，(1)()2fxfxx，求()fx反思：求二次函数的解析式常用待定系数法，已知对称轴或顶点坐标时，解析式设为顶点式；已知抛物线上三点坐标或解析式的性质时，解析式设为一般式；已知相应一元二次方程的根时，解析式设为零点式。题型二图形变换【例2】已知2()fxx的图像经过怎样的变换，得到函数2()421fxxx的图像？反思：所有二次函数的图像均可以由函数2yx的图像经过变换得到。变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤。四、随堂练习1、下列关于二次函数21yxx的开口方向和顶点的说法，正确的是DA开口向下，顶点(1,1)B开口向上，顶点(1,1)C开口向下，顶点13(,)24D开口向上，顶点13(,)242、函数2yx的图像向上平移1一个单位，所得图像的函数解析式为CA2(1)yxB2(1)yxC21yxD21yx3、函数24yx的图像各点的纵坐标变为原来的14倍，横坐标不变，所得图像的函数解析式为(2yx）4、函数2yxm的图像向下平移2个单位，得函数21yx的图像，则实数m(1)m5、已知一个二次函数()fx，(0)5f，(1)4f，(2)5f，求()fx。6、.将二次函数22yx的图像平移顶点移到下列各点，写出对应的函数解析式。⑴（4,0）;⑵（0，-2）;⑶(-3，2)⑷（3，-1）7、求下列二次函数的解析式⑴图像顶点的坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为（0，11）；⑵已知函数()fx满足(0)1f,且(1)()2fxfxx；⑶(2)0f,(1)0f且过点（0，4）求()fx.附加题:已知二次函数()fx满足(2)1f,(1)1f,且()fx的最大值是8，求该二次函数的解析式。（试设三种不同的形式给出三种解法）