2009年高考数学(理)试题及答案(山东卷)

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。锥体的体积公式V=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率:()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCppkn.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）集合0,2,Aa,21,Ba,若0,1,2,4,16AB,则a的值为（A）0（B）1（C）2（D）4（2）复数31ii等于（A）i21B）12iC）2iD）2i（3）将函数sin2yx的图象向左平移4个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A）cos2yx（B）22cosyx（C）)42sin(1xy（D）22sinyx（4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A）223（B）423（C）2323（D）234322侧(左)视图222正(主)视图（5）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“m”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）函数xxxxeeyee的图像大致为(7）设P是△ABC所在平面内的一点，2BCBABP，则(A）0PAPB(B）0PCPA(C）0PBPC(D）0PAPBPC(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A）90(B）75(C）60(D）45(9）设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO96981001021041060.1500.1250.1000.0750.050克频率/组距第8题图ABCP第7题图(A）45(B）5(C）25(D）5(10）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则f（2009）的值为(A）-1(B）0(C）1(D）2（11）在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos2x的值介于0到21之间的概率为().（A）31（B）2（C）21（D）32（12）设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的是最大值为12，则23ab的最小值为().（A）625（B）38（C）311（D）4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（13）不等式0212xx的解集为.（14）若函数f(x)=ax-x-a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.（15）执行右边的程序框图，输入的T=.（16）已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,则1234_________.xxxxx22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0开始S=0,T=0,n=0TSS=S+5n=n+2T=T+n输出T结束是否三、解答题：本大题共6分，共74分。（17）(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C为锐角，求sinA.（18）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。(19)(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345p0.03P1P2P3P4（1）求q2的值；（2）求随机变量的数学期望E;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。（20）（本小题满分12分）等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记22(log1)()nnbanNEABCFE1A1B1C1D1D证明：对任意的nN，不等式1212111·······1nnbbbnbbb成立（21）（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（I）将y表示成x的函数；（Ⅱ）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。（22）（本小题满分14分）设椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。参考答案（1）答案:D【解析】:∵0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16AB∴2164aa∴4a,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.（2）答案:C【解析】:223(3)(1)324221(1)(1)12iiiiiiiiiii,故选C.【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.（3）答案:D【解析】:将函数sin2yx的图象向左平移4个单位,得到函数sin2()4yx即sin(2)cos22yxx的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22sinyxx,故选D.【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.(4)答案:C【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为21232333所以该几何体的体积为2323.【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.(5)答案:B.【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的俯视图一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“”是“m”的必要不充分条件.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.(6)答案:A.【解析】:函数有意义,需使0xxee,其定义域为0|xx,排除C,D,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee,所以当0x时函数为减函数,故选A【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.(7)答案：C。【解析】:因为2BCBABP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选C。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。(8)答案:A【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,则300.036n,所以120n,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.(9)【解析】:双曲线12222byax的一条渐近线为xaby,由方程组21byxayx,消去y,得210bxxa有唯一解,所以△=2()40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa,故选D.答案:D.【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.(10)答案:C.【解析】:由已知得2(1)log21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff,(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.(11)答案:C【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x时,222x,∴0cos12x区间长度为1,而cos2x的值介于0到21之间的区间长度为21,所以概率为21.故选C【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cos2x的范围,再由长度型几何概型求得(12)答案:A【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12,即2a+3b=6，而23ab=2323131325()()26666abbaabab,故选A.【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求23ab的最小值常用乘积