第四章-信息率失真函数-习题答案

4.1一个四元对称信源4/14/1324/14/110)(XPX，接收符号Y={0,1,2,3}，其失真矩阵为0111101111011110，求Dmax和Dmin及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。解：0041041041041),(min)(43041141141141),()(minminminmaxijijiijiijjyxdxpDyxdxpDD因为n元等概信源率失真函数：aDaDnaDaDnDR1ln11lnln)(其中a=1,n=4,所以率失真函数为：DDDDDR1ln13ln4ln)(函数曲线：01/41/23/4DR(D)ln4其中：symbolnatDRDsymbolnatDRDsymbolnatDRDsymbolnatRD/0)(,43/12ln214ln)(,21/316ln214ln)(,41/4ln)0(,04.2若某无记忆信源3/113/13/101)(XPX，接收符号21,21Y，其失真矩阵112211D求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该Dmax和Dmin的失真度。4.3某二元信源2/12/110)(XPX其失真矩阵为aaD00求这信源的Dmax和Dmin和R(D)函数。解：0021021),(min)(202121),()(minminminmaxijijiijiijjyxdxpDaayxdxpDD因为二元等概信源率失真函数：aDHnDRln)(其中n=2,所以率失真函数为：aDaDaDaDDR1ln1ln2ln)(4.4已知信源X={0,1}，信宿Y={0,1,2}。设信源输入符号为等概率分布，而且失真函数1100D，求信源的率失真函数R(D)。4.5设信源X={0,1,2,3}，信宿Y={0,1,2,3,4,5,6}。且信源为无记忆、等概率分布。失真函数定义为其他且且53,2141,010),(jijijiyxdji证明率失真函数R(D)如图所示。1320log22log2RD4.6设信源X={0,1,2}，相应的概率分布p(0)=p(1)=0.4，p(2)=0.2。且失真函数为)2,1,0,(10),(jijijiyxdji(1)求此信源的R(D)；(2)若此信源用容量为C的信道传递，请画出信道容量C和其最小误码率Pk之间的曲线关系。4.7设0α,β1,α+β=1。试证明：αR(D’)+βR(D”)≥R(αD’+βD”)4.8试证明对于离散无记忆N次扩展信源，有RN(D)=NR(D)。其中N为任意正整数，D≥Dmin。4.9设某地区的“晴天”概率p(晴)=5/6，“雨天”概率p(雨)=1/6，把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”造成的损失为a元。又设该地区的天气预报系统把“晴天”预报为“晴天”，“雨天”预报为“雨天”的概率均为0.9；把把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”的概率均为0.1。试计算这种预报系统的信息价值率v（元/比特）。4.10设离散无记忆信源3/13/13/1)(321xxxXPX其失真度为汉明失真度。(1)求Dmin和R(Dmin)，并写出相应试验信道的信道矩阵；(2)求Dmax和R(Dmax)，并写出相应试验信道的信道矩阵；(3)若允许平均失真度D=1/3，试问信源的每一个信源符号平均最少有几个二进制符号表示？解：jienejienxypyxdxpDsasasaijijiji,)1(1,)1(11)/(0031031031),(min)(min4.11设信源ppxxXPX1)(21（p0.5），其失真度为汉明失真度，试问当允许平均失真度D=0.5p时，每一信源符号平均最少需要几个二进制符号表示？解：因为二元信源率失真函数：aDHpHDR)()(其中a=1（汉明失真）,所以二元信源率失真函数为：)()()(DHpHDR当2pD时symbolnatpppppppppHpHpR/21ln212ln2)1ln()1(ln2)(2