高数重点知识

第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1极限的重要性质1())nnxfx1．不等式性质设ByAxnnnnlimlim，，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn．设ByAxnnnnlimlim，，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B．作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设Axnnlim，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设Axnnlim，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，且A＞B，则存在δ＞0，使得当00xx＜δ有f（x）＞g（x）．设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，且存在δ＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）≥g（x），则A≥B．2．有界或局部有界性性质设Axnnlim，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n=1，2，3，…）．设，Axfxx)(lim0则函数f（x）在x=x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，则；BAxgxfxx)]()([lim0；ABxgxfxx)()(lim0．)0()()(lim0BBAxgxfxx只要设)(glim)(lim00xxfxxxx，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“00”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即：1°设Bxxfxxxx)(glim)(lim00，，则)]()([lim0xgxfxx.)()(lim0xgxfxx（()0gx）又B≠0，则)]()([lim0xgxfxx．2°设)(lim0xfxx，当x→x0时()gx局部有界，（即0,0M，使得00xx时()gxM），则)]()([lim0xgxfxx．设)(lim0xfxx，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则)]()([lim0xgxfxx．3°设)(lim0xfxx，)(lim0xgxx，则)()(lim0xgxfxx，又δ＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则)]()([lim0xgxfxx．4°设0)(lim0xfxx，x→x0时g（x）局部有界，则0)()(lim0xgxfxx（无穷小量与有界变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广设．AxfBxgAxfBxgxxxxxx)()(lim)(lim＞0)(lim000则，000lim()ln()()()ln()ln(lim()lim)xxgxfxgxgxfxBABxxxxfxeeeA只要设00lim()lim()xxxxfxgx，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln)(lim0xfxgxx是“0·∞”型未定式．1°设)(lim0xfxx=0（0＜｜x－0x｜＜δ时f（x）＞0），0)(lim0Bxgxx，则0()0(0)lim()(0)gxxxBfxB2°设)(lim0xfxx=A＞0，A≠1，)(lim0xgxx=+∞，则0()0(01)lim()(1)gxxxAfxA3°设)(lim0xfxx=+∞，0)(lim0Bxgxx，则＞0)()＜0(0)(lim)(0BBxfxgxx用相消法求00或型极限利用洛必达法则求极限分别求左、右极限的情形，分别求nnnnxx212limlim与的情形利用函数极限求数列极限§3无穷小和它的阶1．无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系0lim()()()xxfxAfxAx其中00lim()0(()(1)).xxxfxAoxx，o（1）表示无穷小量．在同一个极限过程中，u是无穷小量（u≠0）u1是无穷大量．反之若u是无穷大量，则u1是无穷小量．2．无穷小阶的概念（1）定义同一极限过程中，（x），（x）为无穷小，设0()()1()()()lim()~()()()0()()()(())()lxxlxxxlxxxlxxxox为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程定义设在同一极限过程中（x），（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数l使得0)()(limlxxk称（x）是（x）的k阶无穷小，特别有0)()(lim00lxxxkxx，称x→x0时（x）是（x－x0）的k阶无穷小．（2）重要的等价无穷小x→0时sinx~x，tanx~x，㏑（1+x）~x，ex－1~x；ax－1~xlna，arcsinx~x，arctanx~x；（1+x）a―1~ax，1―cosx~221x．（3）等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1°若~，~~．2°~=+o（）3°在求“00”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换§4连续性及其判断1．连续性概念（1）连续的定义：函数f（x）满足)()(lim00xfxfxx，则称f（x）在点x=x0处连续；f（x）满足00lim()()xxfxfx（或))()(lim00xfxfxx，则称f（x）在x=x0处右（或左）连续．若f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x=a处右连续，在点x=b处左连续，则称f（x）在[a，b]上连续．（2）单双侧连续性f（x）在x=x0处连续f（x）在x=x0处既左连续，又右连续．（3）间断点的分类：设f（x）在点x=x0的某一空心邻域内有定义，且x0是f（x）的间断点．若f（x）在点x=x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0+0）存在并相等，但不等于函数值f（x0）或f（x）在x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f（x）在点x=x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0+0）存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点．若f（x）在点x=x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0+0）至少有一个不存在，则称点x0为第二类间断点．2．函数连续性与间断点类型的判断：若f（x）为初等函数，则f（x）在其定义域区间D上连续，即当开区间（a，b）D，则f（x）在（a，b）内连续；当闭区间[c，d]D，则f（x）在[c，d]上连续．若f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断．当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性．判断f（x）的间断点的类型，就是求极限00lim()xxfx．3．有界闭区间[a，b]上连续函数的性质：最大值和最小值定理：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，则存在ξ和η[a，b]，使得f（ξ）≤f（x）≤f（η），（a≤x≤b）有界性定理：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，则存在M＞0，使得｜f（x）｜≤M，（a≤x≤b）介值定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），则对f（a）与f（b）之间的任意一个数c，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=c推论1（零值定理）：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0推论2：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，且m和M分别是f（x）在[a，b]上最小值和最大值，若m＜M，则f（x）在[a，b]上的值域为[m，M]．第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是①导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系．②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求n阶导数表达式．③求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率．④导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）．§1一元函数微分学中的基本概念及其联系1．可导与可微的定义及其联系f2．几何意义与力学意义)(0xf是曲线y=f（x）在点（x0，f(x0））处切线的斜率．xxfxdfxx)()(00是相应于x该切线上纵坐标的增量．质点作直线运动，t时刻质点的坐标为x=x(t），)(0tx是t=t0时刻的速度．3．单侧导数与双侧导数f（x）在x=x0可导''00)()fxfx，均存在且相等．此时''000()()()fxfxfx'0000()()()limxfxxfxfxx，-'0000()()()lim.xfxxfxfxx§2一元函数求导法反函数求导法：设f（x）在区间Ix可导，()0fx，值域区间为Iy，则它的反函数x=（y）在Iy可导且()1d1()d()ddxyxyyfxyx变限积分求导法：00000000000()()()()()limlim()()()(1)0(1)()xxxfxxfxfxfxxfxfxxxxfxxfxAoxoxAfx在可导：，即无穷小量0000000()()()()(0)()()()()xxfxxfxxfxAxoxxfxxxfxAxfxxfxdx在可微：在的微分d0()fxxx在连续0()fxxx在连续设函数f（x）在[a，b]上连续，则xattfxFd)()(在[a，b]上可导，且()()Fxfx，（a≤x≤b）设()fx在[c，d]上连续，当x[a，b]时函数u（x），v（x）可导，且()()uxvx和的值域不超出[c，d]，则)()(d)()(xuxvttfxF在[a，b]上可导，且)())(()())(()(xuxvfxuxufxF，（a≤x≤b）隐函数求导法：分段函数求导法1°没说明对常数a，b，x≠3时f（x）均可导．2°先由x=3处可导求出a值，再由连续性求出b值．请看以下错误表达：“因33(3)26(3)()xxfxfaxba，由(3)(3)ff得a=6．再由连续性f（3+0）=f（3－0）即9=3a+b，b=－9”错误在于①当3a+b≠9时(3)f不存在，也不可能有3(3)()xfaxb．②f（3+0）=f（3－0）不能保证f（x）在x=3连续．仅当f（3+0）=f（3－0）=f（3）时才能保证x=3连续．必须先由连续性定出3a+b=9，在此条件下就可得(3)fa高阶导数与n阶导数的求法常见的五个函数的n阶导数公式：baxnnbaxae)e()()2πsin())(sin()(nbaxabaxnn)2πcos())(cos()(nbaxabaxnn