常见重要不等式

一、不等式的基本性质常见的几个重要不等式六、小结五、一些有用的不等式四、柯西不等式的证明与应用三、白努力不等式的证明与应用二、平均数不等式的证明与应用不等式的基本性质设u=，v=(),,,21nxxxgL(),,,21nxxxfL是两个取值为实数的函数.若u-v是正数，就说u大于v,记成uv，也说v小于u,记成vu.简而言之，就是用记号“”,“”，或连结两个这样的函数所组成的式子叫作不等式.形如：(),,,21nxxxfL(),,,21nxxxgL(),,,21nxxxfL(),,,21nxxxgLabba222+xxx01211223-++-uvuv不等式的基本性质：1.若ab,bc,则ac2.在ab,ab,a=b中有且只有一个成立3.若ab,则a+cb+c4.不等式的不等号两边移项时符号反号5.若ab,cd,则a+cb+d6.若ab,cd,则a-cb-d不等式的基本性质7.若ab,则当c0时,acbc;当c0时,acbc当c=0时,ac=bcaxax则-axa;若12.设a0,若则xa或x-ababa++0时成立等号当且仅当ab13.baba-+14.nnaaaaaa+++LL212115.bann11.若ab0,整数n1,则nnba10.若ab0,整数n1,则9.若ab0,0cd,则a/cb/d8.若ab0,cd0,则acbd不等式的基本性质完全平方公式引出的不等式:()2222bababa+--由任何数的平方不小于0，则有：()02-ba0222+-babaabba222+结论：任意两个数的平方和不小于两个数积的两倍平均数不等式的证明与应用定义：naaaAnn+++L21几何平均数——nnnaaaHL11调和平均数——naaannG11121L+算术平均数——平均数不等式的证明与应用则1,,,2,1,0nniaiL若()()111+-++kGAkk由于11++kkax()121+kkkaaayL令假定定理1在n=k(k1)时成立，当n=k+1时证明：naaaL21时成立.中等号当且仅当定理1平均数不等式的证明与应用1,,,2,1,0nniaiLnnBA其，则若22BA,知当=2时，由()0221-aa时等号成立。其中等号当且仅当21aa11++kkGA(1)要证0)()(---yxkyyxxkkk()111+-+++xykxkykkk)]()()[(111-++-+-----yxyyxyyxyxkkkkkL))((11-+++--+kyxyyxxyxkkkkL()11121121+-++++aaaakaaaakkkkkkkLL()11121121+-+++++++aaaakaaaakkkkkLL至此，证明了定理1对任何整数n1都成立.所以,(1)成立121+kaaaL当时，显然（1）取等号.反过来,121,,,,+kkaaaaL当不全相等时，若kaaa,,,21L中中至少有两个不等，按归纳假定，（2）不取若121+kkaaaaL则yx,而（3）不取等号.等号；naaaL21时成立.等号当且仅当定理1由定理1还可以得出几个推论：（即：个正整数的调和平均数不大于它们的+++21nnxxxL其中等号当且仅当121nxxxL时成立推论2当且仅当21nxxxL时成立想一想：定理1的这两个推论应该怎么证明？平均数不等式的证明与应用1,,,2,1,0nniaiLnnBA其中,则若推论1,1,,,2,1,021nixxxnixLL则若,,,2,1,0inixL则nnGH,其中等号若几何平均数）定理1及其推论在证明不等式和求最值等方()1)1(1111++++nnn例1.已知Nn,求证证明：即得证平均数不等式的证明与应用面有广泛的应用Nn,由定理1有：对任意1111++++nnn1111+++nn11)+111(1*1111+++++nnnnnnnn_例2.求周长为定值的一类四边形的面积的最如图,则ba设四边形的面积为S，两个内对角为a，babcd平均数不等式的证明与应用大值.解：2max2pS4424-+-+-+-pdpcpbpap)(21+++dcbap))()()((----dpcpbpap222222222)(21)(41--+-+dcbadcbaS2222222222)cos(224+-+--++abcddcbadcbaSbasinsin2+cdabSba(1)2222coscos)(21---+cdabdcbaba(2)，得：）（）（2221+----dpcpbpap+pba因此，,且时，定理2其中等号成立的充要条件为x=0证明：其中等号恰在1+x=1,即x=0时成立白努力不等式的证明与应用xxnma++11nmnxm-++1*)()1(nmNnmnma),,(于是xxnmnma++-1*11）（）（2）当a0或a1时，xxaa++11）（1）当0a1时，xxaa++11）（a是小于1的正有理数，令1）若设x-1,则aannlimaxxrr++1*1a()axx++11a()nxaxnan++,,2,1,11L若a是小于1的正无理数,取aaan,,,,,21LL由刚才证明的结果,有()()()axxaxxnnann++++11lim1lim1a于是x0当x=0时,显然上式取等号.现在证明:当时,r10ar1a取有理数r,使.这里就有ra()()xrxxrr+++1]1[1aa于是即1）得证其中每一个都是小于1的正有理数,并使ia白努力不等式的证明与应用定理2其中等号成立的充要条件为x=02）当a0或a1时，xxaa++11）（1）当0a1时，xxaa++11）（设x-1,则证明：根据,1101）,得由a01(时结论明显成立）+ax2）0时，不妨设a01+ax11*11)1(+++aaaaxxx于是1)1(++aaxx.显然的时,等号成立的条件是或当0a1a11112-+-aaanxnxnx当a0时,取正整数n,使},max{-aaxn1*11)1(++++aaaaxxnnnxxna1)1(-+-axnxn10-an这样,,根据1）,有nn01,01+-aaxx又由于a111)1(1)1(+-++-aaanxxnxxnn从而有证明：依定理2的1），有于是由上面两个不等式，即得证白努力不等式的证明与应用()()llllaaa111+--+()()llllaaa111++++llaa11111---+llaa11111++++例3.设a1,-1l0,求证()()lllllllaaaaa11111111++++-+++++110,011+--la由定理3.证明一：两边同时平方，即得柯西不等式柯西不等式的证明与应用于是21121211niiniiniiiniiibababa令21122112niiiiniiiibbyaax121221niiniiniiibaba并取得n个不等式，一起相加，,,3,2,1niL中()2221+iiiiyxyx在已知不等式2112121niiniiniiibaba有证明二：设实变量x的二次函数即nkknkknkkkbaba121221于是-nkknkknkkkbaba121221044+-nkknkkknkkbbaxax1211222()-nkkkbxa21f(x)对任意实数x，总有0f(x)的系数是正数2x,又例4.证明三角形不等式：证明：按定理3有两式相加得柯西不等式的证明与应用即()212112122112++niiniiniiibaba()()21211212211212+++niiniiniiiniiibababa()()2112121++niiniiiniiiibbabba1()()212121++niiniiiniiiiabaaba()()()1112++++niiiiniiiiniiibbaababa()212112122112++niiniiniiibaba例5.设三角形的三边为a，b，c，面积为S.证明：柯西不等式的证明与应用()cbacba2222222+++++()()cabcabcbacba22222+++++++由海伦公式cpbpappS),)()((2---求证：Scba34222++3pcpbpapp))()((3---由定理1,有()cbap2++其中SSpcba3433*34342222++\Sp332于是,由定理3一些有用的不等式nnnnnbbbnaaanbababa21212211*+++++++++LLLniiniiniiiyxyx121212)(++明可夫斯基不等式:设iiniyx),,2,1(,L则knikiknikiknikiiyxyx111111)(++推广:nnbbbaaa2121,LL锲贝晓夫不等式:当时zyxcbaczbyax3*33++++++变型:例5所证的不等式为魏琴伯克不等式小结naaaL21时成立.中等号当且仅当定理11,,,2,1,0nniaiLnnBA其，则若定理3.121221niiniiniiibaba定理2其中等号成立的充要条件为x=02）当a0或a1时，xxaa++11）（1）当0a1时，xxaa++11）（设x-1,则+++21nnxxxL其中等号当且仅当121nxxxL时成立推论2当且仅当21nxxxL时成立推论1,1,,,2,1,021nixxxnixLL则若,,,2,1,0inixL则nnGH,其中等号若