第三章-双曲型方程的差分方法

()()22000uuaxtxtxuuaxtxx∂∂+=∂∂∂∂+=∂∂∂∂∂⎛⎞−=⎜⎟∂∂∂⎝⎠线性双曲型方程定解问题，讨论的主要对象为：一阶线性双曲型方程一阶常系数线性双曲型方程组二阶线性双曲型方程（波动方程）uuA第第33章章双曲型方程的差分方法双曲型方程的差分方法§§11一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程()()()()0000,,0(1.1)0(.)(.)(.)3111211首先考虑常系数方程初始条件初值问题，式的解，沿方程的特征线是常数，并可表示为uuaxttxuxuxxRxatuxtuuxatξξ∂∂+=∈Ρ∂∂,=,∈(1.2)−=,==(−)(1.)upwind,11+=0,0,(1.4)11+=0,0,(1.5)nnnnuuuujjjjaahnnnnuuuujjjjaahττ+−−−+−−+（）：双曲方程中关于空间的偏导用在特征线方向一侧的单边差商来近似．1迎风格式,0xatca−=特征线njj-1j+1,0xatca−=特征线nj-1jj+1n+1n+1()10(1.4)10(1.5)1.aahaaaOhτλλλτ≤=≤≤+Fourier用方法讨论了差分格式的稳定性时，稳定的条件：，即时，稳定的条件：两种差分格式都是条件稳定的．精度：()11+=0,0,(1.6)11+=0,0,(1.7)1.6,1nnnnuuuujjjjaahnnnnuuuujjjjaahikhGkaaeτττλλ+−−++−−−=+−逆风格式：对于（）式，容易求出其增长因子为()()()()(),11cossin22222,11cossin2=1+41sin2sin0,12(.)(.)ikhGkaaeaakhiakhGkakhakhkhaakhaGkτλλλλλτλλλλτ=+−=+−−=+−+⎡⎤⎣⎦+≠01617由此有：　　　　　　　　　取，由于，所以有，是绝对不稳定的，同理绝对不稳定．11+=0,0,(1.4)11+=0,0,(1.7)nnnnuuuujjjjaahnnnnuuuujjjjaahττ+−−−+−−−条件稳定：绝对不稳定：　　如果差分格式（所用的网格点）与微分方程的特征线走向一致则网格比满足一定条件下是稳定的，否则，差分格式不稳定．.111+=0(1.8)22()nnnnuuuujjjjahOhττ+−−+−+11逼近对流方程（）的一个中心差分格式截断误差为，空间精度高了一阶，但绝对不稳定．2Lax-Friedrichs格式()21111112+=0,(1.9)222()()1954LaxFriedrichsLaxFriedrichsnnnnnuuuuujjjjjahhhOhOOhOττττλ⎛⎞+−+−⎜⎟+−+−⎝⎠−⎛⎞⎜⎟++=++⎜⎟⎝⎠年，和提出格式称为格式．误差为，一阶精度．()()()()()()()().11221,22=cos-sin22222222,cossin=1-1-sin1,1ikjhnnuvejanikhikhikhikhnveeeevaikhikhikhikhGkeeeekhiakhGkkhakhakhaGkλλτλτλλλτ=⎡⎤+−−=+−−⎢⎥⎣⎦−−=+−−=+≤≤19令代入（）式有增长因子为当时，有．稳定性1(.)aλ≤110条件为　　　　　　　　　　　()()LaxFriednichs1(1.10)LaxFriednichs11111++-=022annnnnnuuuuuujjjjjjaaaahhλτ−≤−+−−−−+格式与迎风格式的关系：共同点：一阶精度，条件稳定格式可以不考虑对应的微分方程特征线的走向，迎风格式需要考虑特征线的走向．把迎风格式写成统一的形式＋就可以不考虑微分方程特征线的走向而直接应用．111112111112202222122()1nnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjauuuuuuuahahhLaxFriedrichsuuuuuuuahahahOhaaττλτλλ++−+−++−+−−−−++=−−−−++=+≤=区别：当时，迎风格式可写为：　　　　格式：　　　　　　两式左边相同，都以逼近于对流方程，因此两种格式截断误差的比较取决于右端．　　稳定性要求，若11aLaxFriedrichsλ−，则右端相同．但在实际中总取，此时格式的截断误差比迎风格式的大．1960LaxWendroffTaylor年，和提出二阶精度的二层格式．构造这个格式，除了采用级数展开之外，还用到微分方程本身．3Lax-Wendroff格式()22312,.,,1(,)(,)[][]()2uxt11TaylornnjnjnjjuxtxtjnjnuuuxtuxtOttτττ+⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∂∂=+++∂∂设是微分方程（）的光滑解，将在点处做展开2222222231221121122,()()(,)(,)[][]()21[][(,)(,)]()21[][(,)2(,)(,)]nnjnjnjjnjjnjnnjjnjnjnuuatxuuuuaaattxxtxuauuxtuxtaOxxuuxtuxtOhxhuuxtuxtuxtxhτττ++−+−∂∂=−∂∂∂∂∂∂∂∂=−=−=∂∂∂∂∂∂∂∂=−++∂∂∂=−+∂∂=−+∂由方程得因此由于：2()Oh+211122223112221111122223(,)(,)[(,)(,)]()2[(,)2(,)(,)]()()2()(2)22()()()jnjnjnjnjnjnjnnnnnnnnjjjjjjjauxtuxtuxtuxtOhhauxtuxtuxtOhOhaauuuuuuuhhOhOhOττττττττττ++−+−++−+−=−−++−+++↓=−−+−+++有截断误差：，是二阶精度的差分格式．()()()()222,1-2sin-sin2222224,1-41sin21,11(.)110khGkaiakhkhGkaaaGkaτλλτλλλτλ==−≤≤≤增长因子为如果满足条件，则有．稳定性条件为　　　　　　　　　　　()()0,1112222112200aLWannnnuuuujjjjhannnuuujjjhuxuxxRττ−⎡⎤+=−−⎢⎥+−⎣⎦⎛⎞+−+⎜⎟+−⎝⎠,=,∈考虑对流方程初值问题，采用格式：4Courant-Friedrichs-Lewy条件简称C.F.L条件或Courant条件．Pn=0xtnn-1n-2j-1jj+1n-j+1n+jDD′11[,],,,,,,njjnjnjnjnjjjnPuxxxxxxx−+−−+++点的差分解对初值的为上的所有网格点：依赖区域.[,](,)(,),..[]jnjnnnjjjnnjjnjnjnxDxxLWuPDEuuxtuuxtDxCFLxxatξ−+−+−→∈−=P11DDP过点，微分方程（）的特征线与轴的交点为，是其解在点的依赖区域．若在之外，则用格式求得的解与之解毫无关系，不收敛与．因此，差分解的是，即微分解的依赖区域必须包含在差分解的依赖必要条件区域之内——条件．(),.,,111jnPxtxatxatjnxxatjnxxatxxjhtnjnjnjnjnnhannhahaτττλ−=−−≤−≤==−+−≤−≤−≤−≤≤11DCFL过点的（）的特征线与轴的交点的横坐标为因此..条件可以表示为即，不等式等价于()1LWC.F.LLWLW1.8C.F.CFL1.Laaλλ≤−−−≤差分格式收敛的必要条件：不一定!例如，对于格式，条件.条件是否是差分格式收是稳定的条件，相容，收敛（充分必要）；但对格式，条件是，但在此条件下不稳敛定的充，分条件？非充分.利用特征线构造差分格式（依据：双曲方程沿特征线为常数）5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式0,0.1C.F.L1txuauannaahτλλλ+=+==≤考虑对流方程：基本思想：设层网格点上的值已知，要计算层上网格点P的值．网格比满足条件．()()().1(),,,xuQ()().nPttQuPuQQauQQABCDuPuQλ===设过点的特征线与的交点为，则若不是网格点（当时），未知，但周围的网格点等上的值已知，可用插值法（沿方向）给出的近似值，从而得到ABQCDj-2j-1jj+1j+2P1nn+11,()()()()()()()1(),()()(1)()()()CQCBnnnnjjjjBCuQlCuClBuBxxalBaxxhlClBuPuQauCauBuuauuτλλλλ+−=+−===−=−∴==−+⇓=−−两点线性插值：迎风格式：11111,()()()()(),1()(1)221()(1)2211()()(1)()(1)()221()()22DQDBQBDBnnnnnjjjjjBDuQlBuBlDuDxxhalBaxxhxxhalDaxxhuPuQauDauBaLaxFriedrichsuuuuuτλτλλλλ+−++−=+−+===+−−−===−−==−++⇓−=+−−两点的线性插值：格式：111,,()()()()()()()()()()()()()()[()()]1(1)[()2()()]21(2QCCBBCCDQCQBBDnnnjjjjBCDuCuBuQuCxxxxuBuCuCuDxxxxxxxxxxuPuQuCauCuBaauBuCuDLaxWendroffuuauuλλλλ++−−=+−−−−−−−+−−−==−−−−−+−⇓=−−三点二次抛物插值：　　　　　　　　　格式：22111)(2)2nnnnjjjauuuλ+−+−+1,,()()()()()()()()()()()()()()[()()](1)[()2()()]2Beanm-Warming(QCCBCBBAQCQBCAnnjjjABCuCuBuPuQuCxxxxuCuBuBuAxxxxxxxxxxauPuCauCuBauCuBuAuuauλλλλ+−==+−−−−−−−+−−−=−−−−−+⇓=−三点二次抛物插值：格式：1121)1(2)21976R.M.BeamR.F.Warming.nnnnnjjjjuaauuuλλ−−−−−−−+（）年，和提出,这是二阶迎风格式242222221121(,)12sin(1)[4sinsin]222sin[12(1)sin]2(,)14(1)(2)sin22(,)10min()(1)(2)2nnnnnnnjjjjjjjkhakhGkaakhkhiakhakhGkaaaaGkaBeamWargauuauuauuuλτλλλλτλλλλτλλλ++++=−−−−−+−=−−−≤≤−=+−−−−+增长因子当时，同理，时，格式：2aλ≤稳定条件：Beam-Warming2aλ⎧⎪⎨⎪≤⎩格式二阶精度迎风稳定条件：对于固定的空间步长，时间限制较宽，有利于实际计算.n+1njj-1j+1n-1()1111111122.022()11nnnnjjjjnnnnjjjjuuuuahuuauuOhτλτ+−+−+−+−−−+==−−+逼近对流方程（）的一个三层格式或精度：三层格式6蛙跳格式1minmin1(1).juLaxWendroffBeamWargLaxWendroffBeamWargaλ−−−−计算：先用一个二层格式计算一层的值，为了精度一致，一般取二阶精度的二层格式，如，.优点：比，二层二阶格式简单.条件稳定：等于时不稳定11111111()(,),0010001000nnnnjjjjnnjjnnnTjjjnnnnjjjjuvauuvuWuvaaλλλ+−+−+++−⇔⎧=−−⎪⎨=⎪⎩=−⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦稳定性分析：三层格式二层差分方程组：令则上面方程组写成向量形式：12221212,2sin1(,)10sin1sin1|11,(,)nnikjhjWMeaikhGkaikhakhaVonNeumannaGkλτμλλλμλτ+=−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=−±−≤≤−，，令代入上式