空间向量与立体几何典型例题

空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（C）A．13B．23C．33D．231.解：C．由题意知三棱锥1AABC为正四面体，设棱长为a，则13ABa，棱柱的高22221236()323AOaAOaaa（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为1123AOAB.另解：设1,,ABACAA为空间向量的一组基底，1,,ABACAA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OAAAABAC,11ABABAA2111126,,333OAABaOAAB则1AB与底面ABC所成角的正弦值为111123OAABAOAB.二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为33，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于61．1.答案：16.设2AB，作COABDE面，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角3,cos1CHOHCHCHO，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则3ANEMCH11(),22ANACABEMACAE,11()()22ANEMABACACAE12故EMAN，所成角的余弦值16ANEMANEM另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)ABEC,zyHoMBDECNAx1题图（2）HoMBDECNA1题图（1）MABDCOQMABDCOPxyzMABDCOP112112(,,),(,,)222222MN,则3121321(,,),(,,),,32222222ANEMANEMANEM,故EMAN，所成角的余弦值16ANEMANEM.三、解答题：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。1．方法一（综合法）（1）CD‖AB,MDC∴为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作,APCDP于连接MP平面ABCD，∵OA∴CDMP2,42ADP∵∴DP=222MDMAAD∵，1cos,23DPMDPMDCMDPMD∴所以AB与MD所成角的大小为3（２）AB平面∵∴‖OCD,点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作AQOP于点Q，,,,APCDOACDCDOAP平面∵∴,AQOAPAQCD平面∵∴又,AQOPAQOCD平面∵∴,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离222221324122OPODDPOAADDP∵，22APDP22223322OAAPAQOP∴，所以点B到平面OCD的距离为23方法二(向量法)作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1)222ABPDOM,QENMABDCOP(1)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,,1)22ABMD∵1cos,23ABMDABMD∴∴,∴AB与MD所成角的大小为3(2)222(0,,2),(,,2)222OPOD∵∴设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,0nOPnOD即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值,(1,0,2)OB∵,23OBndn∴.所以点B到平面OCD的距离为232．（2008安徽理）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点。（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。2．方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NEMECDMECD，‖AB,AB‖‖又,NEOCMNEOCD平面平面‖‖MNOCD平面‖（2）CD‖AB,MDC∴为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作,APCDP于连接MP平面ABCD，∵OA∴CDMP2,42ADP∵∴DP=222MDMAAD，NMABDCOxyzNMABDCOP1cos,23DPMDPMDCMDPMD∴所以AB与MD所成角的大小为3（3）AB平面∵∴‖OCD,点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作AQOP于点Q，,,,APCDOACDCDOAPAQCD平面∵∴∴又,AQOPAQOCD平面∵∴,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离222221324122OPODDPOAADDP∵，22APDP22223322OAAPAQOP∴，所以点B到平面OCD的距离为23方法二(向量法)作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244ABPDOMN,(1)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MNOPOD设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,0nOPnOD即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n22(1,,1)(0,4,2)044MNn∵MNOCD平面‖(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,,1)22ABMD∵1cos,23ABMDABMD∴∴,AB与MD所成角的大小为3(3)设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值,由(1,0,2)OB,得23OBndn.所以点B到平面OCD的距离为233．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.3．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=623AB，∴sin∠BEC=.36BEBC∴二面角B-AP-C的大小为aresin.36解法二：（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）,∵｜PB｜=｜AB｜＝22，∴t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(EBEC∴cos∠BEC=.33622EBECEBEC∴二面角B-AP-C的大小为arccos.334．（2008北京理）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．4．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PDCD，．APBP，PDAB．ACBC，CDAB．PDCDD，AB平面PCD．PC平面PCD，PCAB．（Ⅱ）ACBC，APBP，APCBPC△≌△．又PCAC，PCBC．又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC．取AP中点E．连结BECE，．ABBP，BEAP．EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．在BCE△中，90BCE，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE．二面角BAPC的大小为6arcsin3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB平面PCD，平面APB平面PCD．过C作CHPD，垂足为H．平面APB平面PCDPD，CH平面APB．CH的长即为点C到平面APB的距离．ACBDPACBEPACBDPH由（Ⅰ）知PCAB，又PCAC，且ABACA，PC平面ABC．CD平面ABC，PCCD．在RtPCD△中，122CDAB，362PDPB，222PCPDCD．233PCCDCHPD．点C到平面APB的距离为233．解法二：（Ⅰ）ACBC，APBP，APCBPC△≌△．又PCAC，PCBC．ACBCC，PC平面ABC．AB平面ABC，PCAB．（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．则(000)(020)(200)CAB，，，，，，，，．设(00)Pt，，．22PBAB，2t，(002)P，，．取AP中点E，连结BECE，．ACPC，ABBP，CEAP，BEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．(011)E，，，(011)EC，，，(211)EB，，，23cos326ECEBBECECEB．二面角BAPC的大小为3arccos3．（Ⅲ）ACBCPC，C在平面APB内的射影为正APB△的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系Cxyz．2BHHE，点H的坐标为222333，，．233CH．点C到平面APB的距离为233．5．(2008福建文)如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCDACBPzxyHE为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以(1,1,0),(1,1,1)CDPB6,3PBCDCOSPBCDPBCD所以异面直线所成的角的余弦值为：63(2)设平面PCD的法向量为(,,)nxyz，(1,0,1),(1,1,0)CPCD00nCPnCD，所以00xzxy；令x=1,则y=z=1,所以(1,1,1)n又(1,1,0)AC则，点A到平面PCD的距离为：233nACdn6．(2008福建理)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=