等比数列的性质总结

等比数列性质1.等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2.通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，首项：1a；公比：q推广：nmnmaaq，从而得nmnmaqa或nnmmaqa3.等比中项（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4.等比数列的前n项和nS公式：(1)当1q时，1nSna(2)当1q时，11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq（,,','ABAB为常数）5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaqqaa或为常数，{}na为等比数列（2）等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列（3）通项公式：0nnaABAB{}na为等比数列（4）前n项和公式：'',,','nnnnSAABSABAABAB或为常数{}na为等比数列6.等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1nnaqa{}na为等比数列7.注意（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11nnaaq如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q，中间项用a表示）；8.等比数列的性质(1)当1q时①等比数列通项公式1110nnnnaaaqqABABq是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q②前n项和111111''1111nnnnnnaqaaqaaSqAABABAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何m,n*N,在等比数列{}na中,有nmnmaaq,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若m+n=s+t(m,n,s,t*N),则nmstaaaa.特别的,当n+m=2k时,得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa(4)列{}na,{}nb为等比数列,则数列{}nka,{}nka,{}kna,{}nnkab{}nnab(k为非零常数)均为等比数列.(5)数列{}na为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等比数列(6)如果{}na是各项均为正数的等比数列,则数列{log}ana是等差数列(7)若{}na为等比数列,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8)若{}na为等比数列,则数列12naaa,122nnnaaa,21223nnnaaa成等比数列(9)①当1q时，②当1q0时，110{}0{}{nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{}na中,当项数为2n(n*N)时,1SSq奇偶,.(11)若{}na是公比为q的等比数列,则nnmnmSSqS