初等数论期末复习资料

1数论教案§1整数的整除带余除法1整数的整除设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,a是b的倍数.如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b∤a.例如2|4,4|-12,-5|15;2∤3，-3∤22.在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负.判断是否b|a？当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.如果b除a的商数是整数,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b∤a.例1判断下列各题是否b|a？(1)7|127?(2)11|129?(3)46|9529?(4)29|5939?整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.(3)如果12,,,naaa都是m的倍数,12,,,nqqq是任意整数,那么1122nnqaqaqa是m的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。例如：2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6).2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6).例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除.练习证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除.2.带余除法设a,b是整数,且b0,那么有唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0≤r＜b.(1)这里q称为b除a的商,r称为b除a的余数.例如-5=3×(-2)+15=3×1+2-5=(-3)×2+15=(-3)×(-1)+215=(-5)×(-3),-24=(-2)×12.事实上,以b除a的余数也可以是负的.例如-5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b除a的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.2具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b除a的余数=0,则b|a;如果b除a的余数≠0,则b∤a.例3利用计算器求余数:(1)7除127;(2)11除-129;(3)46除-9529;(4)-29除5939奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数.不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数.偶数的形式为2n(n是整数);奇数的形式为2n-1(n是整数).奇数、偶数的性质:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b是任意两个整数,则a+b与a-b同奇同偶.例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n是任意3个整数,而且222abn,证明n是偶数.例5设a是任一奇数,试证明8|21a.例6设n是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明对任意整a,设a=3q或a=3q±1,于是2a=92q或2a=92q±6q+1=3(32q±2q)+1.即2a≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习设n是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数.习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数1.最大公因数、辗转相除法3中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数.(1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数;最大公因数:没有专门的符号.定义设12,,,naaa,d都是整数,d≠0,如果ida,i=1,2,…,n,称d是12,,,naaa的公因数,12,,,naaa的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为12(,,,)naaa.如果12(,,,)naaa=1,则称12,,,naaa互质。例1(-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.在中小学数学里,求正整数a,b的最大公因数主要有这个样几种方法：(1)观察法；(2)将a,b的所有公因数都求出来,再从中挑最大的；(3)用短除法.辗转相除法:设a,b是正整数,而且有111,0;abqrrb12221,0;brqrrr123332,0;rrqrrr……………（*）211,0;nnnnnnrrqrrr11.nnnrrq(,)nabr。例2用辗转相除法求(123,78),练习:用辗转相除法求(66,54).下面说明辗转相除法的正确性.先证明性质1设整数a,b,c不全为0,而且有整数q使得a=bq+c则(a,b)=(b,c).证明由a,b,c不全为0知,(a,b)、(b,c)都存在.因(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)≤(b,c);反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)≤(a,b).所以(a,b)=(b,c).4由(*)式知1210,nnbrrrr而n是有限正整数,再由性质1得112(,)(,)(,)abbrrr…=211(,)(,)(,0)nnnnnnrrrrrr.2.最大公因数的性质最大公因数的几个性质：性质2(am,bm)=(a,b)m,m0.(短除法的根据)例3求(84,90),(120,36).(84,90)=3(28,30)=6(14,15)=6.(120,36)=12(10,3)=12.性质3(a,b)=(|a|,|b|).性质4(a,b,c)=((a,b),c).例4求(-84,120),(-120,-72),(24,-60,-96).例5设n是任意整数,证明3152nn是既约分数.证明设d=(3n+1,5n+2),则d|3(5n+2)-5(3n+1),即d|1,d=1，所以3n+1与5n+2互质.作业1.利用辗转相除法求(84,90).2.求(120,36).3.设n是整数，证明3172nn是既约分数。§3整除的进一步性质及最小公倍数1.整除的进一步性质推论1设a,b不全为零,那么有s,t∈Z使得as+bt=(a,b).证明将(*)中每式中的余数解出得21nnnnrrrq,1321nnnnrrrq,…,212rbrq,11rabq,再将1221,,,,nnrrrr的表达式依次代入到21nnnnrrrq中就得au+bv=nr=(a,b)=d,u,v∈Z.例1用辗转相除法求(120,54),并求整数u,v使得120u+54v=(120,54).解∵120=2×54+12,54=12×4+6,12=6×2,∴(120,54)=6.12=120-2×54,6=54-12×4=54-(120-2×54)×4=120×(-4)+54×9.∴u=-4,v=9.练习用辗转相除法求(84,45),并求整数u,v使得84u+45v=(84,45).设a,b都是正整数,问a,b的公因数与最大公因数有什么关系？例2①求(12,18)及12与18的所有正的公因数；通过这个例子,请同学们观察最大公因数与公因数有何关系？能否提出自己的猜想？能否证明自己的猜想？性质1设d是a,b的最大公因数,那么,a,b的任一公因数都是d的因数.5证明如果d=(a,b),由性质2有u,v∈Z使得au+bv=d.设s是a,b的任一公因数,则s|au,s|bv,且s|au+bv,即s|d.性质2如果d=(a,b),则(,abdd)=1.性质3如果(a,c)=1,且c|ab,则c|b.性质4如果(a,c)=1,则(ab,c)=(b,c).性质5如果(a,b)=1,且a|c,b|c,则ab|c.例3证明三个连续整数的积一定可被6整除.2最小公倍数定义如果m是12,,,naaa中每一个数的倍数,则称m是整数12,,,naaa的一个公倍数.12,,,naaa的公倍中最小正整数称为12,,,naaa的最小公倍数.用[12,,,naaa]来表示.例如[2,4,-3]=12,[15,12,20]=60,[6,10,15]=30.定理3[12,,,naaa]=[|1a|,|2a|,…,|na|].定理4设a,b是两个正整数,则(i)a,b的任一公倍数是[a,b]的倍数；(ii)[a,b]=(,)abab.而且若(a,b)=1,则[a,b]=ab.证明(i)设m是a,b的任一公倍数,而且m=t[a,b]+r,0≤r[a,b],因m,[a,b]都是a,b的公倍数,由r=m-t[a,b]知r也是a,b的公倍数,若0r[a,b],则这与[a,b]的最小性矛盾.故r=0,m=t[a,b].(ii)记d=[,]abab,则d是整数,由a|[a,b],a|[a,b]及[,]aabdb,[,]babda知d|a,d|b,即d是a,b的公因数.设h是a,b的任一公因数,由abbaabhhh是a,b的公倍数及TH16知[a,b]|abh,即[,]abdZabhh,所以h|d,6(a,b)=d,从而(a,b)=[,]abab.定理5设12,,,naaa都是正整数,令122[,]aam,233[,]mam,…,1[,]nnnmam,则12[,,,]nnaaam.定理19设12,,,naaa是n(≥2)个正整数,且两两互素,则12[,,,]naaa12naaa例2求[123,456,-789]例3求正整数a,b,满足:a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144.例14设a,b,c是正整数,则[a,b,c]=(,,)abcabbcca作业:P14:1.2.求(84,45),并求整数u,v使得84u+45v=(84,45).§4质数算术基本定理1.质数定义设整数a1,如果a除了1和a外再无其它正因数,则称a为质数,也称为素数.否则,称a为合数.2,3,5,7,11都是质数，4,6,8,9,10都是合数.1-100内有素数25个,1-1000内有素数168个,1-10000内有素数1229,10万内有素数9592个,100万之内78498个.定理1设整数a1,则a除1外的最小正因数q是素数,而且当a是合数时,q≤a.证明假定q是合数,设q=bc,1b,cq.因b|q,q|a,得b|a,但1bq,这与q是a的最小正因数矛盾.故q是素数.若a是合数,设a=qm,由q的最小性知a=qm≥qq,即q≤a.7素数判定定理设整数a1,不超过a所有素数为12,,,kppp,如果ip∤a,i=1,…,k,则a为素数.例1以下正整数哪个是素数？哪个是合数？231,89,103,169.素数判别威尔逊定理:设整数p1,那么p是素数的充分必要条件是p|(p-1)!+1.例2利用威尔逊定理判别3,5,7,11都是素数.当p较大时,(p-1)!+1的数值非常大,在实际运用时不可行。定理2设P是素数,a为任一整数,则或P|a,或(P,a)=1.证明因(P,a)|P,P为素数,所以(P,a)=P,或(P,a)=1.即P|a,或(P,a)=1.2.整数的唯一分解定理定理3任何a1的整数都有标准分解式:a=1212kkppp(3)这里12,,,kppp为不同素数,整数0i,i=1,…,k.推论1若正整数a1的标准分解式为a=1212kkppp,则a的正因数d为d=1212kkppp,0ii,i=1,…,k.而且a有不同的正因数12(1)(1)(1)k个.推论2设a=1212kkppp,b=1212kkppp,0i,0i,i=1,…,k.则(1)(a,b)=1212kkppp,[a,b]=1212kkppp，其中min(,)iii,max(,)iii,i=1,…,k.(2)a,b共有正公因数12(1)(1)(1)k个;(3)a,b共有公因数122(1)(1)(1)k个.例3求725760,154200的标准分解式,并求它们的最大公因数和最小公倍数.解因725760=82×5×11×41,15420