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选修4系列选修4—4坐标系与参数方程选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-3-知识梳理双基自测234165自测点评1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:𝑥'=𝜆·𝑥,𝜆0,𝑦'=𝜇·𝑦,𝜇0的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-4-知识梳理双基自测自测点评2341652.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫做极点,自极点O引一条Ox,叫做极轴;再选定一个单位,一个单位(通常取)及其正方向(通常取方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记为.定点射线长度角度弧度逆时针距离|OM|ρxOMθ(ρ,θ)M(ρ,θ)选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-5-知识梳理双基自测自测点评2341653.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).互化的前提条件互化公式(1)极点与原点重合(2)极轴与x轴非负半轴重合(3)取相同的长度单位x=ρ𝑐𝑜𝑠θ,y=ρ𝑠𝑖𝑛θ,①ρ2=x2+y2,𝑡𝑎𝑛θ=yx(𝑥≠0).②选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-6-知识梳理双基自测自测点评2341654.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则直线的方程为:ρsin(θ-α)=.(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点:θ=θ0和;②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:;③直线过M𝑏,π2,且平行于极轴:.ρ0sin(θ0-α)θ=π+θ0ρcosθ=aρsinθ=b选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-7-知识梳理双基自测自测点评2341655.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①圆心位于极点,半径为r:ρ=;②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=;③圆心位于M𝑎,π2,半径为a:ρ=.ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+𝜌02-r2=0r2acosθ2asinθ选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-8-知识梳理双基自测自测点评2341656.曲线的参数方程(1)定义:在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡),并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的,其中变数t称为.(2)一些常见曲线的参数方程①过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为𝑥=𝑥0+𝑡cos𝛼,𝑦=(t为参数).t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0,y0)的数量,即|t|=|𝑃0𝑃|,t可正,可负.使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为12(t1+t2).参数方程参数y0+tsinα选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-9-知识梳理双基自测自测点评234165②圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为𝑥=,𝑦=(θ为参数).③椭圆方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的参数方程为𝑥=,𝑦=(θ为参数).④抛物线方程y2=2px(p0)的参数方程为𝑥=,𝑦=(t为参数).a+rcosθb+rsinθacosθbsinθ2pt22pt选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理2-10-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.()(2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.()(3)如果点P的直角坐标为(-√2,√2),那么它的极坐标可表示为2,3π4.()(4)参数方程𝑥=-1-𝑡,𝑦=2+𝑡(t为参数)所表示的图形是直线.()(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-11-知识梳理双基自测自测点评234152.若原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极坐标是()A.10,π3B.10,4π3C.-10,-2π3D.10,2π3答案解析解析关闭设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),则tanθ=-5√3-5=√3.因为x0,所以最小正角θ=4π3,ρ=(-5)2+(-5√3)2=10.所以极坐标为10,4π3.答案解析关闭B选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-12-知识梳理双基自测自测点评234153.已知直线l的参数方程为𝑥=2𝑡,𝑦=1+4𝑡(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2√2sinθ,则直线l与圆C的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.由参数确定答案解析解析关闭将直线的参数方程𝑥=2𝑡,𝑦=1+4𝑡(t为参数)化为普通方程,得2x-y+1=0.将圆C的极坐标方程ρ=2√2sinθ化为直角坐标方程,得x2+y2-2√2y=0,即x2+(y-√2)2=2,圆心到直线的距离为d=√2-1√5r=√2,所以直线l与圆C相交.答案解析关闭C选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-13-知识梳理双基自测自测点评234154.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换𝑥'=12𝑥,𝑦'=3𝑦后,正弦曲线y=sinx变为曲线.答案解析解析关闭由𝑥'=12𝑥,𝑦'=3𝑦,知𝑥=2𝑥',𝑦=13𝑦',代入y=sinx中得y'=3sin2x'.答案解析关闭y'=3sin2x'选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-14-知识梳理双基自测自测点评234155.在极坐标系中,直线ρcosθ-√3ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=.答案解析解析关闭直线ρcosθ-√3ρsinθ-1=0化为直角坐标方程为x-√3y-1=0,圆ρ=2cosθ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线x-√3y-1=0上,故|AB|=2.答案解析关闭2选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点知识梳理-15-知识梳理双基自测自测点评1.在极坐标系下,点的极坐标不是唯一的,极坐标(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ)等表示同一点的坐标.因此曲线上点的极坐标不一定适合曲线的极坐标方程.2.判断曲线的极坐标方程或曲线的参数方程表示什么曲线时,一般先化为直角坐标方程或普通方程再判断.3.在极坐标系中判断两曲线的位置关系,或者求两曲线的交点,都是把曲线方程化为直角坐标方程或普通方程后再进行判断或求解.选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点θ=π4-16-考点1考点2考点3考点4考点5考点1直角坐标方程和极坐标方程的互化(多考向)考向一直角坐标方程化为极坐标方程例1在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.思考如何进行直角坐标与极坐标的互化?选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点-17-考点1考点2考点3考点4考点5解(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3√2ρ+4=0,解得ρ1=2√2,ρ2=√2.故ρ1-ρ2=√2,即|MN|=√2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为12.选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点-18-考点1考点2考点3考点4考点5考向二极坐标方程化为直角坐标方程例2(2016山西朔州模拟)在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?ρ2=1449+7sin2𝜃,选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点-19-考点1考点2考点3考点4考点5解(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2=1449+7sin2𝜃,所以9ρ2+7ρ2sin2θ=144.由ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144,即曲线C的直角坐标方程为𝑥216+𝑦29=1.选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点-20-考点1考点2考点3考点4考点5(2)因为曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,所以A(4,0),B(0,3).所以直线AB的方程为3x+4y-12=0.设P(4cosθ,3sinθ),则P到直线AB的距离为d=|12cos𝜃+12sin𝜃-12|5=12√2sin𝜃+π4-125.当θ=5π4时,dmax=12√2+125.故△ABP面积的最大值为12×|AB|×12√2+125=6(√2+1).选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点-21-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点ρsin𝜃-π4=√22,√2,π4-22-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练1(1)(2016春·重庆校级期中)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.①求圆C1的极坐标方程;②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.①求圆O和直线l的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点-23-考点1考点2考点3考点4考点5(1)解①圆C1:(x-3)2+y2=9,展开可得x2+y2-6x=0,可得极坐标方程为ρ2-6ρcosθ=0,化为ρ=6cosθ.②圆C2的圆心的极坐标为√2,π4,化为直角坐标为(1,1),可得圆C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0.圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=|4-2+1|42+(-2)2=3√20,故弦长|AB|=21-3√202=√555.选修4选修4—4坐标系与参数方程知识梳理核心考点核心考点-24-考点1考点2考点3考点4考点5(2)解①圆O:ρ=cosθ+sinθ,
本文标题:高考数学《选修4系列》
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