离散型随机变量及其分布律

概率论第二节离散型随机变量及其分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法三种常见分布小结布置作业概率论从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为:看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义35101033{}PX概率论定义1：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.3256110213{}PX3253210123{}PX概率论其中(k=1,2,…)满足：kp,0kpk=1,2,…（1）kkp1（2）定义2：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律.用这两条性质判断一个函数是否是分布律12{},,,kkPXxpk概率论解:依据分布律的性质kkXP1)(P(X=k)≥0,1!0aekakka≥0,从中解得即ea例2设随机变量X的分布律为：,!)(kakXPkk=0,1,2,…,试确定常数a.00kkke!概率论二、离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法12{},,,kkPXxpkXkp12kxxx12kppp概率论例3某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取值为0,1,2;P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81概率论常常表示为：81.018.001.0210~X这就是X的分布律.概率论三、三种常见分布1、（0-1）分布：（也称两点分布）随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：101,0,11pkppkXPkkppX110~或概率论看一个试验将一枚均匀骰子抛掷3次.X的分布律是：2.伯努利试验和二项分布3315012366{},,,,.kkPXkkk令X表示3次中出现“4”点的次数概率论掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”抽验产品：“是正品”，“是次品”一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A或.A这样的试验E称为伯努利试验.概率论“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.将伯努利试验E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.“独立”是指各次试验的结果互不影响.概率论用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则1)(0nkkXP易证：0)(kXP（1）称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作X~b(n,p)}{kXP101,,,nnkkkppkn（2）概率论007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例4已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~b(3,0.05)，概率论若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.00618.0)2(310025195CCCXP请注意：概率论3.泊松分布,,2,1,0,!)(kekkXPk设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中0是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X~π(λ).λ概率论例5一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P{X≤m}0.95的最小的m.进货数销售数概率论求满足P{X≤m}0.95的最小的m.查泊松分布表得58050932.,!kkek59050968.!kkek于是得m=9概率论对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、小结概率论练习题二.设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。一.一袋中有4只乒乓球，编号为1、2、3、4、在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律概率论三、一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。四、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？概率论解：4,3XX的所有可能取值为：}3{XP341C41}4{XP3423CC43一.一袋中有4只乒乓球，编号为1、2、3、4、在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律概率论二.设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：2,1,0XX的所有可能取值为：}0{XP315313CC3522}1{XP31512213CCC3512}2{XP31522113CCC351概率论三、一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：,2,1XX的所有可能取值为：,2,1iiAi次投篮命中，表示第}{kXP)(121kkAAAAP)()()()(121kkAPAPAPAP,2,1%45)(iAPi，则相互独立，，，且kkAAAA121,2,1%45%551kk，概率论}{取偶数XP1}2{kkXP112%45%55kk3111概率论四、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？解：被使用的个数表示同一时刻供水设备X)1.0,5(~X则}{kXP5,1,09.01.055kCkkk}2{X}3{X}3{X}1{X概率论)1(}2{XP252259.01.0C0729.0)2(}3{XP}5{}4{}3{XPXPXP00856.0)3(}3{XP}3{1XP}5{}4{1XPXP99954.0)4(}1{XP}1{1XP}0{1XP40951.0概率论五、布置作业《概率统计》标准化作业（二）一、1；三、1，4；