2018南通一模(四)数学

2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合A＝{－1，0，a}，B＝{0，a}．若B⊆A，则实数a的值为________．2.已知复数z＝1＋4i1－i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．5.若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6.若实数x，y满足y≥1，y≤3，x－y－1≤0，则2x—y的最大值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F到双曲线x216－y29＝1的渐近线的距离为________．8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，则a3的值为________．9.在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移φ0φπ2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10.若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．11.如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为93cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)(第11题)(第12题)12.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则AP→·AQ→的最小值为________．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM的长度的最大值为________．14.已知函数f(x)＝x2－2ax－a＋1，x≥0，ln（－x），x0，g(x)＝x2＋1－2a.若函数y＝f(g(x))有4个零点，则实数a的取值范围是________________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，D是BN的中点．求证：(1)MD∥平面PAC；(2)平面ABN⊥平面PMC.16.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，a＝152b.(1)求sinB的值；(2)求cosC＋π12的值．17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，两条准线之间的距离为42.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．18.(本小题满分16分)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.(道路宽度忽略不计)(1)若PB经过圆心，求点P到AD的距离：(2)设∠POD＝θ，θ∈0，π2.①试用θ表示EF的长度；②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．19.(本小题满分16分)已知函数g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有极值，且函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式；(2)当a0时，若函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)－73.20.(本小题满分16分)若数列{an}同时满足：①对于任意的正整数n，an＋1≥an恒成立；②若对于给定的正整数k，an－k＋an＋k＝2an对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列{an}是“R(k)数列”．(1)已知an＝2n－1，n为奇数，2n，n为偶数，判断数列{an}是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2)已知数列{bn}是“R(3)数列”，且存在整数p(p1)，使得b3p－3，b3p－1，b3p＋1，b3p＋3成等差数列，证明：{bn}是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O2的半径为1，两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点，PM与⊙O2切于点M.若PM＝3，求PT的长．B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x∈R，向量01是矩阵A＝1x02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A－1.C.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与曲线x＝t－1，y＝t2－1(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．D.[选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知a1，b1，求b2a－1＋a2b－1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.(1)求二面角PCDA的余弦值；(2)已知点H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求PHPC的值．23.(本小题满分10分)(1)用数学归纳法证明：当n∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝sinn＋12x2sin12x－12(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)；(2)求sinπ6＋2sin2π6＋3sin3π6＋4sin4π6＋…＋2018sin2018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.12.－323.254.105.126.57.658.39.π610.e－211.21012.42－413.3214.5－12，1∪(1，＋∞)15.解析：(1)在△ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点，所以MD∥AN.(3分)因为AN⊂平面PAC，MD⊄平面PAC，所以MD∥平面PAC.(6分)(2)在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，所以AB⊥MC.(8分)因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC＝C，所以AB⊥平面PMC.(11分)因为AB⊂平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC.(14分)16.解析：(1)在△ABC中，根据余弦定理及a2＝b2＋c2－bc得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(3分)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB得sinB＝basinA＝215×32＝55.(6分)(2)因为a＝152bb，所以AB，即0Bπ3.又sinB＝55，所以cosB＝1－sin2B＝255.(9分)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cosC＋π12＝cosπ－A－B＋π12＝－cosB＋π4(12分)＝－cosBcosπ4－sinBsinπ4＝－255×22－55×22＝－1010.(14分)17.解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得ca＝22，2a2c＝42，(2分)解得a＝2，c＝2，所以b＝2.所以椭圆的方程为x24＋y22＝1.(4分)(2)方法一：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以M为AB的中点．(6分)因为椭圆的方程为x24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x0，y0)，则B(2x0＋2，2y0)．所以x20＋y20＝89，①（2x0＋2）24＋（2y0）22＝1,②(10分)由①②得9x20－18x0－16＝0，解得x0＝－23，x0＝83(舍去)．把x0＝－23代入①，得y0＝±23，(12分)所以kAB＝±12，因此，直线AB的方程为y＝±12(x＋2)，即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分)方法二：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以M为AB的中点．(6分)设直线AB的方程为y＝k(x＋2)．由x24＋y22＝1，y＝k（x＋2）得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0，解得xB＝2－4k21＋2k2.(8分)所以xM＝xB＋（－2）2＝－4k21＋2k2，yM＝k(xM＋2)＝2k1＋2k2，(10分)代入x2＋y2＝89得，－4k21＋2k22＋2k1＋2k22＝89，化简得28k4＋k2－2＝0，(12分)即(7k2＋2)(4k2－1)＝0，解得k＝±12，所以直线AB的方程为y＝±12(x＋2)，即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分)18.解析：以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．(1)直线PB的方程为y＝2x，半圆O的方程为x2＋y2＝402(y≥0)，(2分)由y＝2x，x2＋y2＝402，y≥0得y＝165.所以点P到AD的距离为165m．(4分)(2)①由题意得P(40cosθ，40sinθ)．直线PB的方程为y＋80＝sinθ＋2cosθ＋1(x＋40)，令y＝0，得xE＝80cosθ＋80sinθ＋2－40＝80cosθ－40sinθsinθ＋2.(6分)直线PC的方程为y＋80＝sinθ＋2cosθ－1(x－40)，令y＝0，得xF＝80cosθ－80sinθ＋2＋40＝80cosθ＋40sinθsinθ＋2，(8分)所以EF的长度为f(θ)＝xF－xE＝80sinθsinθ＋2，θ∈0，π2.(10分)②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S1＝12×80－80sinθsinθ＋2×80＝6400sinθ＋2，区域Ⅱ的面积为S2＝12×EF×40sinθ＝12×80sinθsinθ＋2×40sinθ＝1600sin2θsinθ＋2，所以S1＋S2＝1600sin2θ＋6400sinθ＋20θπ2.(3分)设sinθ＋2＝t，则2t3，则S1＋S2＝1600（t－2）2＋6400t＝1600t＋8t－4≥1600(28－4)＝6400(2－1)，当且仅当t＝22，即sinθ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S1＋S2的最小值为6400(2－1)m2.故当sinθ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19.解析：(1)因为f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－a－1.f(x)，f′(x)随x的变化列表如下：所以当x＝－a－1时，f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意可知g′(－a－1)＝0，且Δ＝4a2－12b0，所以3(－a－1)2＋2a