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24.2.2直线和圆的位置关系第3课时1.理解切线长的概念,掌握切线长定理.2.学会运用切线长定理解有关问题.3.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.OPBA1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线?2.这样的切线能画出几条?如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是⊙O的切线.3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.50°130°OABP如何用圆规和直尺作出这两条切线呢?.思考:已画出切线PA,PB,A,B为切点,则∠OAP=90°,连接OP,可知A,B除了在⊙O上,还在怎样的圆上?O·PABO在经过圆外一点作图的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.·OPAB切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别与联系呢?切线长概念切线和切线长是两个不同的概念:1.切线是一条与圆相切的直线,不能度量;2.切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.OPAB比一比:切线与切线长OABP12思考:已知⊙O切线PA,PB,A,B为切点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?折一折请证明你所发现的结论.APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点,∴OA⊥PA,OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°,∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.证一证切线长定理∵PA,PB分别切⊙O于A,B,∴PA=PB,OP平分∠APB.从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:OPAB反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法PA=PB∠OPA=∠OPBAPOB若连接两切点A,B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分ABM证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.试一试APO.B若延长PO交⊙O于点C,连接CA,CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB,∴AC=BC.C.PBAO(3)连接圆心和圆外一点(2)连接两切点(1)分别连接圆心和切点反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形.想一想探究:PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交AB于点C.BAPOCE(1)写出图中所有的垂直关系OA⊥PA,OB⊥PBAB⊥OP(2)写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCD△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP(4)写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB(3)写出图中所有的全等三角形BAPOCED【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.【解析】设AF=x(cm),则AE=x(cm)∴CD=CE=AC-AE=(13-x)cmBD=BF=AB-AF=(9-x)cm由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).【例题】1.(口答)如图所示PA,PB分别切圆O于A,B,并与圆O的切线分别相交于C,D,已知PA=7cm,(1)求△PCD的周长.(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数.C·OPBDAE答案:14cm67°【跟踪训练】【例2】如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和⊙O分别相切于点L,M,N,P,求证:AD+BC=AB+CD证明:由切线长定理得AL=AP,LB=MB,NC=MC,DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC,补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等.DLMNABCOP【例题】1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.42xx【解析】设OA=xcm;在Rt△OAP中,OA=xcm,OP=OD+PD=(x+2)cm,PA=4cm,由勾股定理,得PA2+OA2=OP2,即42+x2=(x+2)2整理,得x=3所以,半径OA的长为3cm.【跟踪训练】ABCDEF2.设△ABC的边BC=8,AC=11,AB=15,内切圆I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.求AE,CD,BF的长..Ixyz【解析】设AE=x,BF=y,CD=zxyz答:AE,CD,BF的长分别是9,2,6.x+y=15,y+z=8,x+z=11,x=9,y=6,z=2,则解得1.(珠海·中考)如图,PA,PB是⊙O的切线,切点分别是A,B,如果∠P=60°,那么∠AOB等于()A.60°B.90°C.120°D.150°C2.(杭州·中考)如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为()A.2B.3C.D.【解析】选D.如图所示,连接OA,OB,则三角形AOB是直角三角形,且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切圆半径为1,利用勾股定理求得AB=,那么这个正三角形的边长为.323323BA3.已知:如图,PA,PB是⊙O的切线,切点分别是A,B,Q为⊙O上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA,PB于E,F点,已知PA=12cm,求△PEF的周长.【解析】易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm切线的6个性质:(1)切线和圆只有一个公共点.(2)切线和圆心的距离等于圆的半径.(3)切线垂直于过切点的半径.(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点.(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.(6)切线长定理.通过本课时的学习,需要我们掌握:
本文标题:24.2.2--直线和圆的位置关系(第3课时)
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