2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二十一几何探究题类型2与相似三角形有关的几何探究题试题

1类型2与相似三角形有关的几何探究题：5．(2012·安徽)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠EDF；(3)连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.解：(1)∵D，E，F分别是△ABC三边中点，∴DE∥12AB，DE=12AB，DF∥12AC，DF=12AC.又∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，即BD＋DG＋BG＝AC＋CD＋DG＋AG，∴BG＝AC＋AG.∵BG＝AB－AG，∴BG＝AB＋AC2＝b＋c2.(2)证明：BG＝b＋c2，FG＝BG－BF＝b＋c2－c2＝b2，∴FG＝DF.∴∠FDG＝∠FGD.又∵DE∥AB，∴∠EDG＝∠FGD.∴∠FDG＝∠EDG.∴DG平分∠EDF.(3)证明：在△DFG中，∠FDG＝∠FGD，∴△DFG是等腰三角形．∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形．∴BD＝DG.∴CD＝BD＝DG.∴B，G，C三点共圆．∴∠BGC＝90°.∴BG⊥CG.6．(2016·合肥十校联考)如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB·AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．(1)如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，那么∠DAB＝120°；(2)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，且∠BCD＝150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，求AD的长．解：(1)提示：由题意易知△ADC∽△ACB，则∠D＝∠ACB，∠ACD＝∠B.∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAB＝13×360°＝120°.(2)证明：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠CAB＝30°.∵∠DCB＝150°，∴∠DCA＝150°－∠ACB.在△ADC中，∠ADC＝180°－∠DAC－∠DCA＝180°－30°－(150°－∠ACB)＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC.2∴ADAC＝ACAB.∴AC2＝AB·AD.又∠DAC＝∠CAB，∴四边形ABCD为“可分四边形”．(3)∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，∴AC平分∠DAB，AC2＝AB·AD.∴∠DAC＝∠CAB，ADAC＝ACAB.∴△ACD∽△ABC.∴∠ACB＝∠D＝90°.在Rt△ACB中，AB＝AC2＋BC2＝25.∵AC2＝AB·AD，∴AD＝AC2AB＝4225＝855.7．(2016·淮北濉溪县一模)(1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD·BC＝AP·BP；(2)探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．解：(1)证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°，即∠ADP＝∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴ADBP＝APBC，即AD·BC＝AP·BP.(2)结论AD·BC＝AP·BP仍然成立．理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD＝∠A＋∠ADP，∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP.∴△ADP∽△BPC.∴ADBP＝APBC，即AD·BC＝AP·BP.(3)过点D作DE⊥AB于点E.∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3.由勾股定理可得DE＝4.∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC＝DE＝4.∴BC＝BD－DC＝1.又∵AD＝BD，∴∠A＝∠B.∴∠DPC＝∠A＝∠B.由(1)、(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP.∴5×1＝t(6－t)，解得t1＝1，t2＝5.∴t的值为1或5.8．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别在AC，BC上，将△ABC沿MN折叠，顶点C恰好落在斜边的P点上．3(1)如图1，当MN∥AB时，求证：①AM＝MC；②PAPB＝CMCN；(2)如图2，当MN与AB不平行时，PAPB＝CMCN还成立吗？请说明理由．解：(1)证明：①由折叠可知∠CMN＝∠NMP，CM＝PM.∵MN∥AB，∴∠CMN＝∠A，∠NMP＝∠MPA，即∠A＝∠MPA.∴MA＝MP.∴AM＝MC.②由①可知∠CMN＝∠A＝45°，∠CNM＝∠B＝45°，∠A＝∠B＝45°，∴MC＝NC＝AM＝BN，∠PMA＝∠PNB＝90°.∴△APM∽△BPN.∴PAPB＝AMBN.∴PAPB＝CMCN.(2)成立．理由：过点M，N分别做AB的垂线，垂足分别为点E，F.由题意可知，CM＝PM，CN＝PN，∠MPN＝90°，∴∠MPE＋∠NPF＝90°.∵∠MPE＋∠EMP＝90°，∴∠EMP＝∠NPF.∴△MEP∽△PFN.∴MPPN＝MEPF＝PENF.∵∠A＝∠B＝45°，ME⊥AP，NF⊥AB，∴△MAE和△NFB均为等腰直角三角形，即ME＝AE，NF＝BF.∵MEPE＝PFNF.∴AEPE＝PFBF.∴AE＋PEPE＝PF＋BFBF，即APPE＝PBBF.∴APPB＝PEBF＝PENF.∴PAPB＝MPPN＝CMCN.