2013年高考文科数学天津卷word解析版

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，文1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()．A．(－∞，2]B．[1,2]C．[－2,2]D．[－2,1]答案：D解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故选D.2．(2013天津，文2)设变量x，y满足约束条件360,20,30,xyxyy则目标函数z＝y－2x的最小值为()．A．－7B．－4C．1D．2答案：A解析：作约束条件360,20,30xyxyy所表示的可行域，如图所示，z＝y－2x可化为y＝2x＋z，z表示直线在y轴上的截距，截距越大z越大，作直线l0：y＝2x，平移l0，当l0过点A(5,3)时，z取最小值，且为－7，选A.3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为()．A．7B．6C．5D．42答案：D解析：由程序框图可知，n＝1时，S＝－1；n＝2时，S＝1；n＝3时，S＝－2；n＝4时，S＝2≥2，输出n的值为4，故选D.4．(2013天津，文4)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：因为a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以a－b＜0，即a＜b；由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0可以为0，所以“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件．5．(2013天津，文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()．A．12B．1C．2D．12答案：C解析：由题意知点P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，设切线的斜率为k，则2021k＝－1，解得12k，直线ax－y＋1＝0的斜率为a，其与切线垂直，所以12a＝－1，解得a＝2，故选C.6．(2013天津，文6)函数πsin24fxx在区间π0,2上的最小值为()．A．－1B．22C．22D．0答案：B解析：因为x∈π0,2，所以ππ3π2,444x，当ππ244x，即x＝0时，f(x)取得最小值22.7．(2013天津，文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋12(log)fa≤2f(1)，则a的取值范围是()．A．[1,2]B．10,2C．1,22D．(0,2]答案：C解析：因为12loga＝－log2a，所以f(log2a)＋12(log)fa＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.8．(2013天津，文8)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()．A．g(a)＜0＜f(b)B．f(b)＜0＜g(a)C．0＜g(a)＜f(b)D．f(b)＜g(a)＜0答案：A解析：由f(a)＝ea＋a－2＝0得0＜a＜1.由g(b)＝lnb＋b2－3＝0得1＜b＜2.因为g(a)＝lna＋a2－3＜0，3f(b)＝eb＋b－2＞0，所以f(b)＞0＞g(a)，故选A.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013天津，文9)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.答案：5－5i解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为__________．答案：3解析：由题意知349ππ32VR球，32R.设正方体的棱长为a，则23a＝2R，a＝3，所以正方体的棱长为3.11．(2013天津，文11)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线2222=1xyab(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．答案2213yx解析：抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝ca＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为2213yx.12．(2013天津，文12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为__________．答案：12解析：取平面的一组基底{AB，AD}，则AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝12AB＋AD，AC·BE＝(AB＋AD)·12ABAD＝12|AB|2＋|AD|2＋12AB·AD＝12|AB|2＋14|AB|＋1＝1，解方程得|AB|＝12(舍去|AB|＝0)，所以线段AB的长为12.13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为__________．4答案：152解析：因为在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD.所以∠BAD＋∠ABE＝180°.又因为AE为圆的切线，所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，故AE＝6.在△ABE中，由余弦定理得cos∠ABE＝222128ABBEAEABBE，cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝18，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝2254，所以BD＝152.14．(2013天津，文14)设a＋b＝2，b＞0，则1||2||aab的最小值为__________．答案：34解析：因为a＋b＝2，所以2ab＝1，1||2||aab＝||||22||4||4||abaabaabaab≥||2+14||4||4||abaaaaba，，当且仅当b＝2|a|时，等号成立．当a＞0时，5+1=4||4aa，故1||52||4aab；当a＜0时，3+1=4||4aa，1||32||4aab.综上可得最小值为34.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)5(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝62105.16．(2013天津，文16)(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝23.(1)求b的值；(2)求πsin23B的值．解：(1)在△ABC中，由sinsinabAB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2accosB，2cos3B，可得6b.(2)由2cos3B，得sinB＝53，进而得cos2B＝2cos2B－1＝19，sin2B＝2sinBcosB＝459.所以πsin23B＝ππ453sin2coscos2sin3318BB.17．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，6所以DE＝12AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)解：在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD.由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设棱长为a，可得A1D＝52a，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝52a.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝55BGBC.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为55.18．(2013天津，文18)(本小题满分13分)设椭圆2222=1xyab(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC·DB＋AD·CB＝8，求k的值．解：(1)设F(－c,0)，由33ca，知3ac.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有2222()1cyab，解得63by，于是264333b，解得b＝2，又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，7所以椭圆的方程为22=132xy.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组221,132ykxxy消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝2262