空间向量与立体几何专题

1空间向量与立体几何专题利用空间向量解决立体几何中位置关系平行，垂直，角度问题，距离问题（体积），探索性问题等。1.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，,//,2,4ADCDABCDABADCD,//,2,4ADCDABCDABADCD，点M是EC中点.（I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求BM与平面BDE所成角的正弦值.答案及解析：1.（1）设N为DE的中点，因为M是EC的中点，,21,//DCMNDCMN,21,//CDABCDAB因此MNAB//，所以四边形ABMN是平行四边形，------4分,//ANBM因为，平面ADEFBM，平面ADEFAN.//ADEFBM平面--6分（2）因为点M是EC中点，所以221CDEDEMSS.，-------7分正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，BCEDADEDABCDED,平面因为,,DEADCDAD，且DE与CD相交于DCDEAD平面,,//,//CDEABCDAB平面B到面DEM的距离2AD---------8分.又CBEEDBCBDBCCDBDBC,4,22是直角三角形，则32DEBS---9分设M到面DEM的距离h，23131hhSADSVVDEBDEMDEMBDEBM由.-----10分2524212122ECBM，---11分所以BDEBM与平面所成角的正弦值为51052sinBMh----12分2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,底面ABC⊥侧面AA1B1B,01160,AABP为CC1的中点,11ABABO.(1)证明：AB1⊥平面A1OP.(2)若M是棱AC上一点,且满足045MOP,求二面角1MBBA的余弦值.答案及解析：2.解：(1)取的中点，连接，易证为平行四边形，从而.由底面侧面，底面侧面，，底面，所以侧面，即侧面，又侧面，所以，又侧面为菱形，所以，从而平面，因为平面，所以.(2)由(1)知，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，，，，，，得.设，得，所以，所以.3而.所以，解得.所以，，.设平面的法向量，由得，取.而侧面的一个法向量.设二面角的大小为.则3.如图，在Rt△ABC中，3BCAB，点E、F分别在线段AB和AC上，且BCEF//，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角BEFP的大小为60°.（Ⅰ）求证：PBEF；（Ⅱ）当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求PC与平面PEF所成角的正弦值.答案及解析：3.证明：（Ⅰ）,3BCABBCEFABBC//,ABEF,翻折后垂直关系没变，仍有BEEFAEEF,PBEEF面PBEF（Ⅱ）BEEFAEEF,PEB是二面角P-EF-B的平面角，60PEB，又PE=2,BE=1,由余弦定理得PB=3,EBBCPBEBPBPEEBPB,,,,222两两垂直.以B为原点，BC所在直线为X轴，BE所在直线为Y轴，建立如图直角坐标系.则P(0,0,3),C(3,0,0),E(0,1,0),F(2,1,0).4)3,1,2(),3,1,0(PFPE设平面PEF的法向量),,,(zyxn由,00PFnPEn可得),1,3,0(n41||||sin),3,0,3(PCnPCnPC.故PC与平面PEF所成的角的正弦值为14.4.如图，在圆锥PO中，已知2PO，⊙O的直径AB=2，点C在底面圆周上，且30CAB，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：OD∥平面PBC；（Ⅱ）证明：平面PAC⊥平面POD；（Ⅲ）求二面角A-PC-O的正弦值.答案及解析：4.证明：（Ⅰ）∵D为AC的中点，O为⊙O的圆心,则OD∥BC,…………2分∵BC平面PBC，OD平面PBC，…………4分∴OD∥平面PBC。…………5分5证明：（Ⅱ）∵OCOA，D是AC的中点，∴ODAC.又PO底面⊙ACO,底面⊙O，∴POAC，…………7分∵ODOPO,POOD,平面POD，∴AC平面POD,…………9分∵AC平面PAC,∴平面PAC平面POD；…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面POD平面PAC，在平面POD中，过O作PDOH于H，则OH平面PAC。过H作HQPC,垂足为Q,连结OQ，则由三垂线定理得OQPC,∴HQO是二面角APCO的平面角.…………12分在PODRt△中，3222412122ODPOODPOOH,在Rt△PDC中,可求得23HQ,∴在Rt△OQH中,2263OQOHHQ,∴sin33OHHQOOQ.即二面角APCO的正弦值为33．…………15分5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，2AC，32BD，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．6（1）求证：DEAC；（2）若E为PB的中点，且二面角A-PB-D的余弦值为721，求EC与平面PAB所成角的正弦值．5.（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．（4分）（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（5分）设PD=t，则A（1，0，0），B（0，3，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣3，t）．设平面PAB的一个法向量为n（x，y，z），则错误!未找到引用源。，令错误!未找到引用源。，得)32,1,3(tn，平面PBD的法向量m（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。（舍），（9分）则错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。，∴EC与平面PAB所成角的正弦值为742．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，π2ABC=BAD，2PAAD，1ABBC，点M，E分别是PA，PD的中点．7（I）求证：CE∥平面PAB；（II）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长．答案及解析：6.(Ⅰ)证明：连接BM，ME，因为点M，E分别是PA，PD的中点，所以12MEAD，ME//AD，所以BC//ME，BCME，所以四边形BCEM为平行四边形，所以CE//BM．…………………………………………………………………3分又因为BM平面PAB，CE平面PAB，所以CE//平面PAB．…………………………………………………………4分(Ⅱ)解：如图，以A为坐标原点建立空间坐标系Oxyz，则(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P，(0,0,1)M．………………5分所以(1,0,2)BP，(0,2,1)DM，8设(,0,2)BQBP，01，………………………………………6分又(,1,2)CQCBBQ，所以22(1)cos,515CQDM．……7分设1t，则1t，[1,2]t，所以2224cos,55106tCQDMtt，2241cos,61055CQDMtt，当且仅当156t，即15l=时，|cos,|CQDM取得最大值，即直线CQ与DM所成角取得最小值，此时1555BQBP==．……………10分7.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,2ADDCCB,。60ABC,平面ACEF⊥平面ABCD,四边形ACEF是矩形,2AE.。(1)求证:BC⊥平面ACEF；。(2)求二面角B-EF-D的余弦值.7.（1）在梯形ABCD中，∵//ABCD，2ADDCCB,。60ABC四边形ABCD是等腰梯形，且120,30DCBDACDCA90DCADCBACBBCAC又∵平面ACFE平面ABCD，交线为AC，BC平面ACFE（2）由(1)知,以点C为原点，CFCBCA,,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,9则)0,0,0(C,(0,2,0),(23,0,0),(3,1,0),(0,0,2),(23,0,2)BADFE，在平面BEF中，(23,2,2),(23,0,0)BEFEuuuruuur设其法向量为1(,,)nxyzur，则1123220230nBExyznFExuruuururuuur，令1y，则1z.故平面BEF的一个法向量为1(0,1,1)nur.在平面DEF中，(23,0,0)FEuuur，1(3,1,2),2DFCFCDCFBAuuuruuuruuuruuuruuur设其法向量为2(,,)nxyzuur，则22320230nBFxyznFExuuruuuruuruuur，令2y，则1z.故平面DEF的一个法向量为2(0,2,1)nuur.由12110cos,1025nnuruur,知二面角DEFB的余弦值为1010.8.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC.(Ⅰ)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(Ⅱ)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1?若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由．108.解：(1)证明：连接AC1，BC1，则AC1∩A1C＝N，AN＝NC1，因为AM＝MB，所以MN∥BC1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.(2)作B1O⊥BC于O点，连接AO，因为平面BCC1B1⊥底面ABC，所以B1O⊥平面ABC，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，3，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0，3)．由1AA＝1CC＝1BB，可求出A1(1，3，3)，C1(2,0，3)，设点P(x，y，z)，11AC＝λ1AP.则P(1+1，3－3，3)，CP＝(1，3－3，3)，1CB＝(－1,0，3)．设平面B1CP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，11由.0,0111CBnCPn得.03,03)33(zxzyx令z1＝1，解得n1＝(3，11，1).同理可求出平面ACC1A1的法向量n2＝(3，1，－1)．由平面B1CP⊥平面ACC1A1，得n1·n2＝0，即3＋11－1＝0，解得λ＝3，所以A1C1＝3A1P，从而C1P∶PA1＝2.9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且1ABAC，2AD.（1）证明：MN∥平面PCD；（2）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在(0,)6内变化时，求二面角P-BC-A的取值范围.9.(1)取PD得中点Q,连接NQ,CQ,因为点M,N分别为BC,PA的中点，,21,////CMADNQCMADNQ12CQMNCQNM//为平行四边形，四边形，PCDMNPCDCQPCDMN面面面又//,,，(2)连接PM,因为2,1ADACAB,点M为BC的中点，则,,,,BCPMABCDPABCAM则面又的平面角，设为为二面角ABCPPMA