2.1数列极限的概念

第二章数列极限§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3数列极限存在的条件§2.1数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法一、概念的引入引例1如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111二、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n1{(1)}n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,三、数列的极限（c11(k)）其长度组成的数列为n21,024681000.20.40.60.81随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11nnxO●●nnxOnxnnxnnx)1(nO101112131415161718192021●●●●●●●●●●●●●●●●202122232425262728293031303132333435363738394041n11目标不惟一！！！！！！！！！！！！例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为axnnlim.数列极限的通俗定义11limnnn,021limnn,1)1(lim1nnnn.11limnnn,021limnn,1)1(lim1nnnn.问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xna|无限接近于0.当n无限增大时,|xna|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xna|能小于事先给定的任意小的正数.•分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xna|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.下页数列极限的精确定义设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数,总存在正整数N,使得当nN时,不等式|xna|总成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,axnnlim或xna(n).或说数列{xn}是发散的,习惯上也说nnxlim不存在.0,NN,当nN时,有|xna|.axnnlim•极限定义的简记形式定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数Nx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式|xn－a|＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xn－a|＜εn＞N④定义中的不等式|xn－a|＜ε（n＞N）是指下面一串不等式||1axN||2axN||3axN都成立，而对||1ax||axN则不要求它们一定成立数列极限的几何意义,,0N使得N项以后的所有项,,,321NNNxxx都落在a点的ε邻域内),(aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点xaaa22Nx1x2x1Nx3x这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。AnNAAnxn目的：AxANnNAxnnn,0lim时，有使得自然数要找到一个●●●●●●●●●●●●●●●●●●NAAA越来越小，N越来越大！nxn数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：分析:例1例1.证明1)1(lim1nnnn.证明|xn1|nnnn1|1)1(|1,所以1)1(lim1nnnn.下页证明因为0,]1[NN,当nN时,有证明因为0,]1[NN,当nN时,有证明因为0,]1[NN,当nN时,有axnnlim0,NN,当nN时,有|xna|.对于0,要使|xn1|,只要n1,即1n.|xn1|nnnn1|1)1(|1.对于0,要使|xn1|,只要n1,即1n.利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明1lim22nann证明1|1|22nanxn)(222nannanan21)1(22naan则若0故][,1max2aN则当n＞N时，有nannan22211n11lim22nann例3.证明分析，要使（为简化，限定n只要证.当nN时有由定义适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。343lim22nnnnnnn1241234322212n33,12max,0N取nnnn12412343222343lim22nnn.例4.证明（K为正实数）证：由于所以对任意ε＞0，取N=,当n＞N时,便有01limknnkknn101k1101kn01limknn例5.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例6.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn例7.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证,0任给.limaxnn故,limaxnn,1axNnNn时恒有使得当axaxaxnnn从而有aaxna1由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：aan2适当放大aan，通常放大成nMaan的形式nM，求出需要的N1化简3解总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。四收敛的否定:aannlim＞数列na发散000,0,naNaa0nN,有＞＞0000,nNaa0nN,有＞五数列极限的记註:1满足条件“”的数列:。2axNnNan,0,,,limnnnaaa改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:3数列极限的等价定义:)0(,,,,0:1kkaaNnNnD:2D对0,c3:D对任正整数.1,,,maaNnNmn,,,nNnNaa六无穷小数列:•定义极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）•nxnxn命题1.的极限为n=是无穷小量.0axyaxnnn)(nnyaxaa变量有极限的充要条件为它可分解为加一个无穷小量。命题200nnxx无穷小量加绝对值仍为无穷小