高考数学-圆锥曲线中的最值与定值问题例题分析(老师用)

1圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【题型分析】1.已知P是椭圆2214xy在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值分析：设P（2cos,sin），(0)2,点P到直线AB：x+2y=2的距离|22sin()2||2cos2sin2|2224555d∴所求面积的最大值为2（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件||||22PMPN.记动点P的轨迹为W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22xy122－＝（x0）（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，20x2－），B（x0，－20x2－），OAOB＝2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程22xy122－＝中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则2222122212244(1)(2)0201201kbkbkbxxkbxxk解得|k|1，又OAOB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2222k242k1k1＋＝＋－－2综上可知OAOB的最小值为223.给定点A(-2,2)，已知B是椭圆2212516xy上的动点，F是右焦点，当53ABBF取得最小值时，试求B点的坐标。解：因为椭圆的35e，所以513ABBFABBFe，而1BFe为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义||35||||||||BFeBFBNeBNBF于是5||||||3ABBFABBNANAM为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为53(,2)2所以，当53ABBF取得最小值时，B点坐标为53(,2)24.已知椭圆221259xy，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PAPB的最小值；（2）求||||PAPB的最小值和最大值分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义||4||5PAePQ，∴5||||||||4PAPBPQPB，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则||2||PAaPC∴||||||2||10(||||)PAPBPAaPCPBPC，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P位置时，||||||PBPCBC，||||PAPB有最大值，最大值为10||10210BC；当P到'P位置时，||||||PBPCBC，||||PAPB有最小值，最小值为10||10210BC.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）5.已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆2219xy上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2=x2+(y-4)2①因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②3将②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)2218272y因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当12y时，1max33OQ此时max331PQ【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。6.已知△OFQ的面积为26，OFFQm（1）设646m，求OFQ正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），26||,(1)4OFcmc当||OQ取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设OFQ||||cos()1||||sin262OFFQmOFFQ46tanm646m4tan1（2）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)xyabQxyFQxcyab则∴11||||262OFQSOFy，∴146yc又∵OFFQm，∴21116(,0)(,)()(14OFFQcxcyxccc22211126963,||12.48cxcOQxyc当且仅当4c时，||OQ最小，此时Q的坐标是(6,6)或(6,6)22222266141216aabbab，所求方程为221.412xy（借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，4综合考察学生应用相关知识点解题的能力）7.如图所示，设点1F，2F是22132xy的两个焦点，过2F的直线与椭圆相交于A、B两点，求△1FAB的面积的最大值，并求出此时直线的方程。分析：12112FFBFABFFASSS，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则11212121||||||(1)2FABFFyyyycS设直线AB的方程为1xky代入椭圆方程得22(23)440kyky12122244,2323kyyyykk即21222243(1)43||123211kyykkk令211tk，∴14312FABttS，12tt（1t）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用1()2fttt（1t）的单调性易得在1t时取最小值1FABS在1t即0k时取最大值为433，此时直线AB的方程为1x（三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用）（从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）8．设椭圆方程为1422yx，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足OP(21OA)OB，点N的坐标为)21,21(，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最小值与最大值.【专家解答】（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组14122yxkxy的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP①②5设点P的坐标为(x,y),则.44,422kykkx消去参数k得4x2+y2-y=0③当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以,142121yx④.142222yx⑤④—⑤得0)(4122212221yyxx，所以.0))((41))((21212121yyyyxxxx当21xx时，有.0)(4121212121xxyyyyxx⑥并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为.141)21(16122yx（2）由点P的轨迹方程知.4141,1612xx即所以127)61(3441)21()21()21(||222222xxxyxNP故当41x，||NP取得最小值，最小值为1;4当16x时，||NP取得最大值，最大值为.6219.椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e,过点C（－1,0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量BA的比为2.（1）用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：（1）设椭圆E的方程为12222byax(a＞b＞0)，由e=32ac∴a2=3b2故椭圆方程x2+3y2=3b26设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量AB的比为2，∴0321322121yyxx即21212)1(21yyxx由)1(33222xkybyx消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点得：13331360222212221kbkxxkkxxABC的内分点）是恒成立（点而S△OAB|1|||23|)1(|23||23|2|21||212222221xkxkyyyyy⑤由①③得:x2+1=－1322k，代入⑤得：S△OAB=)0(13||32kkk（2）因S△OAB=23323||1||3313||32kkkk,当且仅当,33kS△OAB取得最大值此时x1+x2=－1,又∵3221xx=－1∴x1=1,x2=－2将x1,x2及k2=31代入④得3b2=5∴椭圆方程x2+3y2=510.我们把由半椭圆12222byax(0)x≥与半椭圆12222cxby(0)x≤合成的曲线称作“果圆”，其中222cba，0a，0cb．如图，设点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段21AA的中点．（1）若012FFF△是边长为1的等边三角形，（2）求该“果圆”的方程；①②③④⑤7yO1A2B2A1B...M1F0F2Fx.（2）设P是“果圆”的半椭圆12222cxby(0)x≤上任意一点．求证：当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处；（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．解：（1）2222012(0)00FcFbcFbc，，，，，，222220212121FFbccbFFbc，，于是22223744cabc，，所求“果圆”方程为2241(0)7xyx≥，2241(0)3yxx≤．（2）设()Pxy，，则2222||ycaxPM22222()1()04bacxacxbcxc，≤≤，0122cb，2||PM的最小值只能在0x或cx处取到．即当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处