1.1.2弧度制(1)

1.1.2弧度制1.1任意角和弧度制教学目标（1）理解1弧度的角及弧度的定义；；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。教学重点与难点重点:理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。难点:弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。问题提出1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？2.在直角坐标系内讨论角,象限角是什么概念？3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量,物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便,以度为单位度量角的大小是一种常用方法,为了进一步研究的需要,我们还需建立一个度量角的单位制.回顾旧知，探求新知请同学们先独立思考，写出结果后举手回答！写出满足下列条件的角的集合。（1）锐角（2）第一象限的角（3）小于的角90o探究1：弧度的概念思考1:在平面几何中,10的角是怎样定义的？规定把周角的作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制．思考2：在半径为r的圆中,圆心角n0所对的圆弧长如何计算？2360180rnrln3601我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用符号rad表示，读作弧度。用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下，1弧度记做1rad.弧度制定义讲授新课思考3:1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？OABrr1rad1弧度rl=rOAB1弧度rl=rOAB一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？弧AB的长OB的旋转方向角AOB的弧度数角AOB的度数逆时针顺时针r逆时针2r逆时针0顺时针逆时针逆时针rr20180036001800180201802036000r0180rr221-20未做旋转阅读教材P.6，完成探究.思考4:约定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧AB长为2r,那么∠AOB的大小为多少弧度？－2rad.B2rOAr思考5:如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么,角α的弧度数的绝对值如何计算？rl探究（二）：度与弧度的换算思考1:一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系,10等于多少弧度？1rad等于多少度？角度化为弧度：360＝2rad,180＝rad,1＝rad≈0.01745rad．180弧度化为角度:2rad＝360,rad＝180,1rad＝()≈57.30＝5718/．180360＝2rad角度角度弧度弧度030456090120135150180210225240270300315330360634232436567453423354761120思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.注：角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确．正角的弧度数正数负角的弧度数负数零角的弧度数零正角负角零角正数负数0任意角的集合实数集R思考4:在弧度制下,,这个对应关系是如何理解的？角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为α（）那么扇形的面积如何计算？02ap2211222lSlRRaa===思考6：在弧度制下,与角α终边相同的角如何表示?终边在坐标轴上的角如何表示?)(2Zkk终边x轴上：终边y轴上：()kkZ()2kkZ把化成弧度．0367例121670367解：∵rad832167rad1800367∴请同学们先独立思考，找两名同学到黑板上书写过程，其他同学在草稿纸上演算！把化成度．例2rad5414418054rad54解：角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．1802例:填空角度制与弧度制的互化1217)1(85)2(0100)3(0600)4(01801217025501808505.11203112018010095180600310例3、利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（其中l是扇形的弧长，R是圆的半径,为圆心角，S是扇形的面积）。122SlR（）请同学们先独立思考，找三名同学到黑板上书写自己的证明过程，其他同学在草稿纸上写出证明的步骤，然后和同桌互相审核！2132SR（）)20(Rl)1(.,cm4,cm82度数求该扇形的圆心角的弧面积为已知扇形的周长为LR:解则由弧长为设扇形半径为,L,R8LR24LR214L2R得解的弧度数为故该扇形的圆心角RL242例4写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：1、终边与X轴正半轴重合；2、终边与X轴负半轴重合；3、终边与X轴重合；4、终边与Y轴正半轴重合；5.终边与Y轴负半轴重合；6、终边与Y轴重合；7、第一象限内的角；8、第二象限内的角；9、第三象限内的角；10、第四象限内的角；|2,zkk|2,()|k,()k)(22|)(232|)(2||22,()2kkk)(222|)(2322|)(22232|随堂练习1、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则A、扇形的面积不变B、扇形的圆心角不变C、扇形的面积增大到原来的2倍D、扇形的圆心角增大到原来的2倍BA)B)-C)D)-6612122、时钟经过一小时，时针转过B3、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形圆心角的弧度数为A、1B、4C、1或4D、2或4C4、当圆心角α=-216o，弧长L=7πcm时，其半径r=________35cm65、在半径为的圆中，圆心角为周角的的角所对圆弧的长为___________3023406、若2rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在扇形的面积为_________4cm2注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsin表示rad角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住.4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。正角零角负角正实数负实数0任意角的集合R实数集角度制与弧度制的比较①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）11360②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．小结作业1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.将乘以；n180180（2）“角化弧”时，将乘以；“弧化角”时，lr（3）弧长公式：对的弧长，为圆心角的弧度数，为圆半径．）（其中为圆心角所22121rlrS扇形面积公式：lr作业：P10习题1.1A组：6，7，8，9，10.课堂练习:课本P9练习:第1,2,3，4，5,6题.学后反思一一对应关系，同时也揭示了圆中弧长与半径之间的1、弧度制的引进，使“角度”与“实数”之间建立了关系，即弧长公式：l=|α|r2、弧度制下的弧长公式为l=|α|r;扇形面积公式为211S=lR=R;22在角度制下则是2nRnRl=S=180360和这里，α,n分别是圆心角的弧度数与角度数，R为圆的半径。3、在具体求弧长和扇形面积时，弧度制下的弧长公式及扇形面积公式既形式简单又便于计算，但要注意适用条件是在弧度制下，角的单位要统一，都用弧度数来表示或角度来表示，不可混用于一式中。