数学史概论[1]12.

第11讲繁花似锦—20世纪数学鸟瞰之二：空前发展的应用数学•18世纪是数学与力学紧密结合的时代；•19世纪是纯粹数学形成的时代；20世纪在可以说既是纯粹数学的时代，又是应用数学的时代。•20世纪40年代以后，数学更是以空前的广度与深度向其他科学技术和人类知识领域渗透新时代应用数学的特点：•数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透。•纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的分支也参与了渗透。•现代数学对生产技术的应用变得越来越直接。•现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科。复杂系统数学物理概率论计算数学力学应用分析视觉理论与空间图形代数分析几何核心语言:数学的广泛应用一、数学向其它科学的渗透1.数学物理2.生物与医学3.数理经济学数学物理数学在物理应用的经典事例：(1).20世纪初狭义相对论和广义相对论的创立1907年，闵可夫斯基提出了“闵可夫斯基空间”，即将时间与空间融合在一起的四维时空。闵可夫斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。爱因斯坦利用数学工具导出的著名公式E=mc2揭示出质能转化的可能性.1912年爱因斯坦在概括出新的引力理论基本原理之后，为实现广义相对论的目标，开始寻找适当的数学结构。花费了3年时间终于在以黎曼几何为基础的绝对微分学中找到了他所需的张量分析理论。据此，爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程：1()2vvvRTgT就是黎曼度规张量。广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。vg阿尔伯特·爱因斯坦(AlbertEinstein)在数学上，广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，非均匀时空连续区可借助于现成的黎曼度量来描述。这样，广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。2,vvvdsgdxdx(2).量子力学数学基础的确立量子理论在初创的20多年时间里，一直缺乏统一结构。1925年，由海森堡建立的矩阵力学和由薛定谔发展的波动力学也彼此独立。将这两大理论融合为统一的体系，成为当时科学界的当务之急。恰恰是在这时，数学的决定性作用开始显现出来。1927年，希尔伯特和冯·诺依曼、诺德海姆合作发表《论量子力学基础》，开始用积分方程等分析工具使量子力学统一化。随后，冯·诺依曼进一步利用抽象希尔伯特空间理论去解决量子力学的特征值问题，并最终将希尔伯特谱理论推广到量子力学中经常出现的无界算子情形，从而奠定了量子力学严格的数学基础。1932年，冯·诺依曼发表了总结性著作《量子力学的数学基础》，完成了量子力学的公理化。冯·诺依曼(3).大范围微分几何在统一场论中的应用数学家(外尔)在寻求电磁场与引力场的统一表述过程中,创立了自己的规范场理论,即“规范不变几何”.随后,物理学家们提出的“杨-米尔斯理论”揭示了规范不变性可能是所有四种(电磁、引力、强、弱)相互作用的共性.而该理论所需要的工具物理规范势实际上就是微分几何中纤维丛上的联络,20世纪30、40年代以来已经得到深入的研究.不仅如此,人们还发现规范场的杨-米尔斯方程是一组在数学上有重要意义的非线性偏微分方程.1975年以来,对杨-米尔斯方程的研究取得了许多重要成果,展示了统一场论的诱人前景.杨振宁生物与医学(1).伏尔泰拉方程：这里,x表示食饵即被食小鱼数,y表示捕食者即食肉大鱼数.该方程成功地解释了生物学家观察到的地中海不同鱼种周期消长的现象。用微分方程建立生物模型在20世纪50年代曾获得轰动性成果,这就是描述神经脉冲传导过程的数学模型霍奇金--哈斯利方程(1952)和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱因-拉特里夫方程(1958),它们都是复杂的非线性方程组,引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。dxaxbxydtdycxyeydt(2).脱氧核糖核酸(即DNA)的双螺旋结构:(沃森和克里克)双螺旋模型的发现标志着分子生物学的诞生，同时也拉开了抽象的拓扑学与生物学结合的序幕。采用把DNA的纽结解开再把它们复制出来的办法去了解DNA的结构，这就使代数拓扑学中的纽结理论有了用武之地。1969年以来，数学家与生物学家合作在计算双螺旋“环绕数”方面取得了许多进展，环绕数是刻画两条闭曲线相互缠绕情况的拓扑不变量。1984年，关于纽结新的不变量，即琼斯多项式的发现，使生物学家获得了一种新工具来对DNA结构中的纽结进行分类。另外，1976年以来，数学家与生物学家合作在运用统计与组合数学来了解DNA链中碱基的排序方面也取得了令人鼓舞的成绩。(3).CT扫描仪的发明:1963-1964年间，美籍南非理论物理学家科马克在积分几何中拉东变换的基础之上发表了计算人体不同组织对X射线吸收量的数学公式，解决了计算机断层扫描的理论问题。科马克的工作促使英国工程师亨斯菲尔德发明了一台计算机X射线断层扫描仪即CT扫描仪。此外，概率与统计应用于人口理论和种群理论；布尔代数应用于神经网络描述；傅里叶分析应用于生物高分子结构分析,等等,这一切构成了“生物数学”的丰富内容。数理经济学•1944年，冯·诺依曼与摩根斯顿提出竞争的数学模型并应用于经济问题，成为现代数量经济学的开端。•1951年，美籍荷兰经济学家库普曼斯利用苏联数学家康托洛维奇和美国数学家丹齐格创立的线性规划理论，以“活动分析”替代经典经济学中的生产函数，为资源配置效率与价格体系对应关系的研究提供了有效方法。•1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛发表《价格理论》,对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述,使公理化方法成为现代经济学研究的基本方法。•一般经济均衡价格的存在问题：1874年法国经济学家沃拉斯就已将这个问题归结为由供给等于需求所决定的方程组的求解，但这样导出的一般是一组复杂的非线性方程，难以求解。直到1954年，德布洛和另一位美国经济学家阿罗才第一次利用凸集理论、不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述和存在性证明。•期权定价问题：随机分析进入经济学领域，特别是1973年布莱克和斯科尔斯将期权定价问题归结为一个随机微分方程的解，从而导出了非常符合实际的著名的期权定价公式，即布莱克-斯科尔斯公式：12()()frTcSNdXeNd布莱克-斯科尔斯理论被认为是金融数学方面的一项突破,后又被默顿进一步完善,不仅在金融活动中行之有效,产生巨大利益,而且在数学上对随机分析、随机控制、偏微分方程、非线性分析、数值分析和数理统计等领域的发展也带来极大的推动.其中121ln(/)1,2()(),1,2ifdiSXrTdTTddTNdfzdzi二、应用数学20世纪应用数学发展的一个独特景观，是产生了一批具有自己的数学方法、相对独立的应用学科。1.数理统计2.运筹学3.控制论•1901年，皮尔逊通过发展相关与回归理论，成功地创立了生物统计学。•1908年，皮尔逊的学生戈塞特以“学生分布”开创了小样本统计理论，使统计学研究对象从群体现象转变为随机现象。•现代数理统计学：奠基人是英国数学家费希尔。20世纪20、30年代，他因提出许多重要的统计方法，而开辟了一系列统计学的分支领域。如系统的相关分析与回归分析、方差分析、试验设计。费希尔因为引数理统计费希尔(R.A.Fisher)进显著性检验概念而成为另一门重要统计分支假设检验的先驱之一。费希尔还开辟了多元统计分析的方向，他关于多元正态总体的统计分析，就是一种狭义的多元分析。多元统计分析奠基人还有中国数学家许宝騄和美国霍太林等。•1946年，瑞典数学家克拉姆用测度论系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟。•序贯分析和统率决策理论：美籍罗马尼亚数学家沃尔德提出.序贯分析的要旨是在统计推断中以“序贯抽样方案”来代替传统的固定抽样方案，这样就可以使整个推断程序在达到一定精度时自动停止，因此有很大的优越性。沃尔德原为解决军方提出的实际问题而提出这一统计方法。他用博奕的观点看待数理统计问题，定义了统计推断程序的风险函数，用以判别推断程序的好坏。这是对传统统计方法的突破与创新。1947年，他发表专著《序贯分析》，使之在战后发展为数理统计中一个重要分支。统计决策理论也因首次将决策观念纳入统计方法而引起了战后数理统计思想的革新。•1928年维夏特导出了“维夏特分布”，将这一方向发展为统计学中的一个独立分支。运筹学运筹学原意为“作战研究”，最早因二战中负责英国海岸雷达系统的罗(A.P.Rowe)的倡议而发起。运筹研究在1940年英国对付德军空袭的战斗中建有奇功，在如搜寻潜艇、深水炸弹投放方案、兵力分配等方面也都发挥了功效。二战结束后，运筹学被引入民用部门，研究内容不断扩充，形成了一门新兴的应用学科。目前，它已包括：数学规划论、博奕论、排队论、决策分析、图论、可靠性数学理论、库存论、搜索论等许多分支，统筹与优选也可列入运筹学的范畴。运筹学就是运用这些数学方法来解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关的问题。数学规划：是运筹学中一个基本而又庞大的领域，其中线性规划论则是发展最早和比较成熟的分支。有一类实际问题需要将某些对象最大化(如利润、安全等)或最小化(如支出、风险等)，数学规划就是为这类实际问题提供数学模型的一种方法。具体地说，数学规划寻求函数f(x1,x2,…,xn)在规定(x1,x2,…,xn)必须满足一定条件时的极小(或极大)值。f(x1,x2,…,xn)称为“目标函数”，必须满足的条件称为“约束条件”。如果目标函数和约束条件都是线性的，就叫线性规划，即1min()niiifxax约束条件为1(0;1,2,,;)nijijiibxcxjmim•线性规划的先驱者是苏联数学家康托洛维奇，1939年发表《生产组织与计划中的数学方法》是最早的线性规划著作。•1947年，美国的丹齐克又独立地发展了线性规划理论，线性规划这一名称就是他首先使用的。特别是，丹齐克设计了单纯形算法作为处理线性规划问题的工具。单纯形法在实用上非常有效，因而使线性规划论有了发展的基础。•通过探讨目标函数和约束条件的不同情况，数学家们得到了线性规划论沿不同方向的推广。1951年库恩和塔克尔对一般非线性规划问题得到了局部极值点的“库恩-塔克尔条件”，他们的论文《非线性规划》，可以看作是这一分支学科的发端。•继线性规划和非线性规划之后建立的另一个数学规划论同时也是运筹学的基本分支是动态规划，奠基人是贝尔曼。1957年发表的专著《动态规划》，标志着该学科的建立。控制论•维纳：控制论也是在二战期间新兴的应用学科。其创始人维纳因接受军方的与火力控制有关的“预报问题”而开始了这方面的研究。与此同时，维纳关注的还有“滤波问题”。在维纳之前,预报问题与滤波问题一直被视作不同问题进行讨论.维纳的独到之处在于发现了它们与其他类似问题的共性,并借用统计学的时间序列概念对它们做出了统一处理.维纳将它们的求解问题归结为特定数学算符的最优设计,以及实现这些算符的物理装置的最优设计.这种设计过程,依赖于数学中变分法的极小化技术,同时取决于所处理信息时间序列的统计学.维纳广泛地利用了调和分析与数理统计等数学领域中成熟的工具,建立起一整套最优设计的方法,逐步形成了系统的控制理论.1948年,维纳出版了他的名著《控制论》,宣告了这门学科的诞生.维纳的控制论通常被称为“经典控制论”。20世纪50年代以后，它获得推广发展，形成了研究系统调节与控制的一般规律的现代控制论。•1958年，庞特里亚金提出极大值原理，是为确定系统最优控制的一种强有力的方法；•1960年，卡尔曼引进状态空间法和“卡尔曼滤波”概念，使人们能更有效地控制随机噪声，扩大了控制论的研究范围。•庞特里亚金极大值原理、卡尔曼滤波以及前面已提到的贝尔曼动态规划最优化原理，构成了现代控制论的三大基石。信息论信息论的创始人是美国人香农,他1948年发表“通信的数学理论”等论文,以概率论为基础研究信息量与通信编码.信息论后来则发展成更一般的关于信息加工、存储与分析的理论.三、计算机与现代数学1.电子计算机的诞生2.计算机