数学欣赏2006C

[e-mail]数学与计算科学学院2019/11/30深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》1主讲：张文俊[e-mail]第三章数学之趣深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》名人语录数学家事实上从数学中得到了愉悦。经过深思熟虑、对症下药地摆平了一个有趣的数学问题，其令人愉悦的程度，就如同经过反复瞄准用保龄球一下子击倒了十个球瓶。——M.GARDNER深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》名人语录对行家来说，数学既是科学，又是艺术：真与美同样得到尊重。——M.F.ATIYAH深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》名人语录第一节深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]2019-11-30深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》6勾股定理与勾股数趣谈第一节7…1.千古第一定理——勾股定理2.勾股定理的历史3.从几何观点看勾股定理4.勾股数与不定方程5.勾股数的特殊性质6.千奇百怪勾股数2019/11/30深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》8千古第一定理——勾股定理深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》1、千古第一定理——勾股定理三角形是平面几何中最简单的直边封闭图形，许多平面图形乃至立体图形的计算和应用都可以归结为三角形来解决。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》1、千古第一定理——勾股定理在三角形中，直角三角形是一类极端重要的特殊三角形，也是人类最早认识和感兴趣的一类三角形，任何三角形都可以分解为两个直角三角形。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》345勾股弦861051213直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba1、千古第一定理——勾股定理深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》什么是“勾、股”?在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股“勾”与“股”深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》1、千古第一定理——勾股定理勾股定理是直角三角形的特征：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，即222zyx反过来，三边满足上述关系的三角形，也一定是直角三角形。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》勾股定理是人类认识最早、关注最多、应用最广的一个定理，可以说是千古第一定理。在西方，传说这个定理是由古希腊的著名学派——毕达哥拉斯（Pythagoras,约公元前580—公元前500）学派发现的，因而被称为毕达哥拉斯定理。1、千古第一定理——勾股定理深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》毕达哥拉斯(Pythagoras)约公元前560年生于莎莫斯岛约公元前480年卒于梅塔蓬图姆精通哲学、数学、天文学、音乐理论深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》毕达哥拉斯(Pythagoras)毕达哥拉斯的数学成就：把自然数分成奇数和偶数两类；毕达哥拉斯定理；最早发现了无理数；发现了正五角形的尺轨作图法。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》勾股定理作为数学中的第一个重要定理，与黄金分割一样，被人们认为是几何学的两大宝藏之一.2.勾股定理的重要性深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》2.勾股定理的重要性（1）勾股定理是联系数学中最基本、也最原始的两个对象——数与形的第一定理.没有勾股定理，也就没有平面上两点间距离公式，也就更不会有一般欧几里得空间上两点间距离公式，也就不会有微积分，不会有一般度量空间的概念与理论，也就没有数学的今天；深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》2.勾股定理的重要性（2）勾股定理导致了不可通约量的发现，深刻揭示了数与量的区别，导致了无理数的发现；深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》2.勾股定理的重要性（3）勾股定理开始把数学由实验数学（计算与测量）阶段转变到演绎数学（推理与证明）阶段；深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》2.勾股定理的重要性（4）勾股定理的三边关系式是最早得到完满解答的不定方程，它也导致了包括费马大定理在内的各式各样的不定方程的研究。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》2.勾股定理的重要性勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》3.勾股数西方人把满足x2+y2=z2的正整数组（x,y,z）称为毕达哥拉斯数组，我们称之为勾股数（组）。2019/11/30深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》24勾股定理的历史深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》作为几何学的两大宝藏之一，有确凿的证据表明，在号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦，都对勾股定理有一定程度的认识。值得特别提出的是古代中国和古巴比伦。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》1.古代中国商高定理在古代中国，成书于公元前1世纪左右的《周髀算经》，是一部较早记载勾股定理的著作。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》1.古代中国商高定理(1)公元前1100年左右,周武王的弟弟周公姬旦与商高的对话___“勾股术”：“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。……”意思是说:在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长（弦长）为五。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》(2)陈子（公元前6-7世纪人）测量地球到太阳距离的方法：“勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这应是对勾股定理的完整叙述。1.古代中国商高定理深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》(3)《九章算术》、《缉古算经》等中，还记载了其它一些具体的勾股数并有一定的讨论。公元三世纪初，我国数学家赵爽在《周髀算经注》中给出了勾股定理的一般形式和几何证明。1.古代中国商高定理深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》巴比伦泥板文书“普林顿322号”2.古巴比伦的泥板文书深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》x1193367460112709653192291y1203456480013500723602700z16948256649185419748135412.古巴比伦的泥板文书深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》799481496145167916117715696060064806024002402700901249769816175292928932291062.古巴比伦的泥板文书2019/11/30深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》33从几何观点看勾股定理深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》从几何观点看勾股定理在几何方面，一个正实数的平方代表了以此数为边长的正方形的面积，而勾股定理表明，以直角三角形斜边长为边的正方形的面积等于分别以两直角边为边长的正方形的面积之和。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明一__几何原本的证明欧几里得（EuclidofAlexandria;约325B.C.约265B.C.）深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明一__几何原本的证明欧几里得的《几何原本》是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。“证明一”取材自《几何原本》第一卷的第47命题。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明一__几何原本的证明ABC△ABJ≌△DBCAB=BDBC=BJ∠CBD=∠ABJDEGFHJMN正方形ABDE的面积=2△DBC的面积△DBC的面积＝AB*DE正方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明一__几何原本的证明深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明一__几何原本的证明深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明一__几何原本的证明深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明一__几何原本的证明a2+b2=c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明二——弦图赵爽，又名婴，字君卿。东汉末至三国时代吴国人为《周髀算经》作注，其中有《勾股圆方图注》，写道：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明二——弦图弦图—以弦为边的正方形；朱实—直角三角形的面积；黄实—中间小正方形的面积。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明二——弦图深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明二——弦图cc2=(ab)2+4(½ab)=a22ab+b2+2aba2+b2=c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明二——弦图ba(a+b)2=c2+4(½ab)a2+2ab+b2=c2+2abca2+b2=c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明三——美国总统的证明加菲（JamesA.Garfield.18311881）1881年成为美国第20任总统1876年提出有关证明深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明三——美国总统的证明½(a+b)(b+a)=½c2+2(½ab)½a2+ab+½b2=½c2+abaabbcccca2+b2=c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明二与证明三的比较两个证明基本上相同！深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明二与证明三的缺点两个证明都需要到以下恒等式：(ab)2=a22ab+b2代数恒等式也可以用几何图形证明……深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》完全平方公式：深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》同样的几何图形,也可以不用代数恒等式来证明……深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明四——弦图拼补c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明四——弦图拼补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明四——弦图拼补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明四——弦图拼补a2b2a2+b2=c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》a印度婆什迦罗的证明cc2=b2+a2b深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》刘徽（225—295）三国魏晋时代人。证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》研究了开方不尽数,创造了割圆术,著有《海岛算经》。魏景元四年（即263年）为古籍《九章算术》作注释。对分数理论、比率理论、方程理论、勾股理论做出了重要推进。在注作中，提出以“出入相补”的原理来证明“勾股定理”。后人称该图为“青朱出入图”。证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》a2b2证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明五——出入相补a2+b2=c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明五——出入相补深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》美国宇航局在1972年3月2日发射星际飞船“先锋10号”带着证明勾股定理的“出入相补图”飞向太空。深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明六——相似形IIIIII注意：面积I:面积II:面积III=a2:b2:c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明六——相似形IIIIII注意：面积I:面积II:面积III=a2:b2:c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明六——相似形IIIIII注意：面积I:面积II:面积III=a2:b2:c2深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明六——相似形注意：面积I:面积II:面积III=a2:b2:c2IIIIII深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明六——相似形注意：面积I:面积II:面积III=a2:b2:c2IIIIII深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》证明六——相似形注意：面积I:面积II:面积III=a2:b2:c2而且，面积I+面积II=面积IIIIIIIIIa2+b2=c22019/11/30深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》