第九章-代数系统

19.1二元运算及其性质9.2代数系统9.3代数系统的同态与同构第九章代数系统29.1二元运算及其性质定义9.1设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f封闭.例如f:N×N→N,f(x,y)=x+y就是自然数集合N上的二元运算，即普通的加法运算。普通的减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不是自然数，这时称N对减法运算不封闭。3验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：1.S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。2.S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。例如，实数集合R上不可以定义除法运算，因为0∈R,而0不能做除数。但在R*=R-{0}上就可以定义除法运算，因为该集合上任意两个数x,y，x/y∈R*.4例9.1下面是一些二元运算的例子。(1)N上的二元运算：加法、乘法.(2)Z上的二元运算：加法、减法、乘法.(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.n1,2,...,ji,R,aaaaaaaaaa(R)Mijnnn2n12n22211n1211n5（5）幂集P(S)上的二元运算：∪,∩,－,.（6）SS为S上的所有函数的集合：合成运算∘.通常用∘，*，·等符号表示二元运算，称为算符。设f:S×S→S是S上的二元运算，对任意的x,y∈S,如果x,y的运算结果是z，即f(x,y)=z可利用算符∘简记为x∘y=z6例9.2设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=30.2∗(-5)=0.27定义9.2设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为一元运算.下面是一些一元运算的例子。例9.3(1)Z,Q和R上的一元运算:求相反数(2)非零有理数集Q*，非零实数集R*上的一元运算:求倒数(3)复数集合C上的一元运算:求共轭复数(4)幂集P(S)上,全集为S:求绝对补运算~(5)A为S上所有双射函数的集合，ASS:求反函数(6)在Mn(R)(n≥2)上，求转置矩阵8和二元运算一样，也可以使用算符来表示一元运算.若f:SS为S上的一元运算，则f(x)=y可以用算符∘记为∘(x)=y或∘x=y其中x为参加运算的元素，y为运算的结果。例如x的相反数-x,集合A的绝对补集~A都是上述表示形式，其中-和~都是算符。9有穷集上的一元和二元运算，除了可以使用函数f的表达式给出来以外，还可以用运算表给出来。∘a1a2…an∘aia1a2...ana1∘a1a1∘a2…a1∘ana2∘a1a2∘a2…a2∘an.........an∘a1an∘a2…an∘ana1a2...an∘a1∘a2...∘an10例9.4设S={a，b}，给出P（S）上的运算∼和的运算表，其中全集为S。,∼分别为对称差和绝对补运算的运算表∼的运算表{a}{b}{a,b}X∼X{a}{b}{a,b}{a}{b}{a,b}{a}{a.b}{b}{b}{a,b}{a}{a,b}{b}{a}{a}{b}{a,b}{a,b}{b}{a}11运算表的实例（续）例9.5Z5={0,1,2,3,4},,分别为模5加法与乘法的运算表的运算表012340123401234012341234023401340124012301234000000123402413031420432112定义9.3设∘为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有x∘y=y∘x则称运算∘在S上是可交换的，或者说运算∘在S上适合交换律。例如设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意的a,bQ，aΔb=a+b-a·b，问运算Δ是否可交换。解因为aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa所以运算Δ是可交换的。13例如R上的加法运算和乘法运算都是可结合运算，R上的减法运算和除法运算都是不可结合运算定义9.4设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y,zA，都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称二元运算*在A上是可结合的。例如设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a,bA,有a★b=b，证明★是可结合运算。证明因为对于任意的a,b,cA(a★b)★c=b★c=c而a★(b★c)=a★c=c所以(a★b)★c=a★(b★c)14定义9.5设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x*x=x，则称二元运算*在A上是等幂的。例设(S)是集合S的幂集，在(S)上定义的两个二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交”运算∩，验证是∪、∩等幂的。解对于任意的A(S)，有A∪A=A和A∩A=A，因此运算∪和∩都满足等幂律。15定义9.6设*，Δ是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y,zA，都有x*(yΔz)=(x*y)Δ(x*z)(yΔz)*x=(y*x)Δ(z*x)则称运算*在A上对运算Δ是可分配的。16例如,在实数集上普通乘法对加法是可分配的,在n阶实矩阵的集合Mn(R)上矩阵乘法对矩阵加法是可分配的,而在幂集P(S)上∪和∩是互相可分配的.17定义9.7设◦和*是S上的两个可交换的二元运算,如果对任意的x,y∈S都有x*(x◦y)＝x,x◦(x*y)＝x,则称◦和*满足吸收律.例如,在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的.18左幺元,右幺元,幺元定义9.8设◦为S上的二元运算,如果存在元素el(或er)∈S使得对任何x∈S,都有el◦x＝x(或x◦er=x)则称el(或er)是S中关于运算◦的一个左幺元(或右幺元).若e∈S关于°既是左幺元,又是右幺元,则称e为S上关于运算◦的幺元.19谁是幺元?自然数集合上的加法运算的幺元是谁?自然数集合上的乘法运算的幺元是谁?在Mn(R)上,矩阵加法的幺元是谁?在Mn(R)上,矩阵乘法的幺元是谁?在幂集P(S)上,∪运算的幺元是谁?在幂集P(S)上,∩运算的幺元是谁?R*是非零实数集,任意的a,bR*有a◦b=a,运算◦的幺元是谁?定理9.1设◦为S上的二元运算,el,er分别为运算◦的左幺元和右幺元,则有el＝er＝e.且e为S上关于运算◦的唯一的幺元.证明el＝el◦er,el◦er＝er所以,el=er把el＝er记作e.假设S中存在幺元e’,则有e’=e◦e’＝e所以,e是S中关于运算◦的唯一的幺元,21左零元,右零元,零元定义9.9设◦为S上的二元运算,若存在元素l(或r)∈S使得对任意的x∈S有l◦x＝l(或x◦r＝r)则称l(或r)是S上关于运算◦的左零元(或右零元)若∈S关于运算◦既是左零元,又是右零元,则称为S上关于运算◦的零元.自然数集N上普通乘法的零元是谁?普通加法零元是谁?Mn(R)上矩阵乘法的零元?矩阵加法零元?在幂集P(S)上∪运算的零元是?∩运算的零元是?R*是非零实数集,任意的a,bR*有a◦b=a,运算◦的零元?22定理9.2设◦为S上的二元运算,l,r分别为运算◦的左零元和右零元,则有l＝r＝且为S上关于运算◦的唯一的零元.23定理9.3设A,*是一个代数系统,且集合A中元素的个数大于1.如果该代数系统中存在幺元e和零元θ,则θ≠e.证明：用反证法，设θ=e，那么对于任意xA,必有x=e*x=θ*x=θ=e于是，A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。24左逆元、右逆元、逆元定义9.10设◦为S上的二元运算,e∈S为运算°的幺元.对于任意的x∈S,如果存在yl∈S(或yr∈S)使得yl°x＝e(或x◦yr＝e)则称yl(或yr)是x的左(或右)逆元,若y∈S既是x的左逆元,又是x的右逆元,则称y是x的逆元.自然数集关于加法运算的逆元?整数集关于加法运算的逆元?Mn(R)上矩阵乘法的逆元?在幂集P(S)上∪运算的逆元?25定理9.4设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的幺元.对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl＝yr＝y,且y是x的唯一的逆元.证明:yl＝yl◦e＝yl◦(x◦yr)＝(yl◦x)◦yr＝e◦yr＝yr.令yl＝yr＝y,假设y’∈S是x的逆元,则有y’＝y’◦e＝y’◦(x◦y)＝(y’◦x)◦y＝e◦y＝y.由这个定理可知,对于可结合的二元运算来说,元素x的逆元如果存在则是唯一的.通常把这个唯一的逆元记作x-1.26定义9.11设◦为S上的二元运算,如果对任意的x,y,z∈S满足以下条件(1)若x◦y＝x◦z且x不是零元,则y＝z,(2)若y◦x＝z◦x且x不是零元,则y＝z就称运算◦满足消去律整数集合上加法,乘法?幂集P(S)上∪运算?∩运算满足消去律吗?运算满足消去律吗?A,B,C∈P(S),都有AB=AC=B=CBA=CA=B=C27例9.6对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元，零元和可逆元素的逆元。（1）Z+，x,y∈Z+,x*y=lcm(x,y),即求x,y的最小公倍数。（2）Q,x,y∈Q,x*y=x+y-xy解（1）*运算可交换，可结合，是幂等的x∈Z+，x*1=x,1*x=x,1为单位元，不存在零元只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元28(2)*运算满足交换律，因为对x,y∈Q,x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x*运算满足结合律，因为对x,y∈Q,（x*y)*z=(x+y-xy)*z=x+y+z-xy-xz-yz+xyzx*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz所以（x*y)*z=x*(y*z)*运算不满足幂等律因为2∈Q但是2*2=2+2-2×2=0≠229*运算满足消去律，因为x,y,z∈Q,x≠1(1为零元），有x*y=x*z=x+y-xy=x+z-xz=(y-z)=x(y-z)=y=z(x≠1)由于*是可交换的，右交换律显然成立x∈Q,有x*0=x=0*x,0是*运算的单位元x∈Q,有x*1=1=1*x,1是*运算的零元x∈Q,欲使x*y=0和y*x=0成立,即x+y-xy=0成立则y=x/x-1(x≠1)故x-1=x/x-1(x≠1)30例9.7设A={a,b,c},A上的二元运算*，◦，·如下表所示。（1）说明*，◦，·是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律（2）求出关于*，◦，·运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。*abcaabcbbcaccab◦abcaabcbbbbccbc·abcaabcbabccabc31解*运算适合交换律、结合律和消去律，不适合幂等律，单位元是a，没有零元，且a-1=a,b-1=c,c-1=b◦运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消去律，单位元是a,零元是b,只有a有逆元，且a-1=a·运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，不适合消去律，没有单位元，零元和可逆元素9.2代数系统定义9.12非空集合S和S上的k个运算f1,f2,…,fk(其中fi为ni元运算,i=1,2,…,k)组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记作S,f1,f2,…,fk.例如,N,＋,Z,＋,·,,R,＋,·,都是代数系统,其中＋为普通加法,·为普通乘法,Mn(R),＋,·是代数系统,其中＋和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.33P(S),,,~也是代数系统,它包含两个二元运算和一个一元运算.Zn,,是代数系统，其中34代数常数二元运算的幺元或零元,对系统性质起着重要的作用,称之为系统的特异元素,或代数常数.,,0(),,,~,,ZPSS359.2代数系统定义9.13如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。例如V1=R,+