大学期末考试实变函数必备(期末考试真题)

１1.必有比a大的基数。（）2.无限个闭集的并必是闭集。（）3.若0mE，则E是至多可列集。（）4.无限集的测度一定不为零。（）5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等。（）6.若)(xf在E的任意子集上可测，则)(xf在可测集E上可测。（）7.E上可测函数列的极限函数在E上不一定可测。（）8.)(xf是E上的可测函数，则)(xf可积。（）9.若0)(xf且Edxxf0)(，则f..0)(eax于E。（）10.若|)(|xf在E上可积，则)(xf在E上也可积。（）填空题（每题2分，共20分）1.设,2,1),,0(nnAn，则nnA1，nnA1。2.设1,,,3,2,1RnA，则0A，'A。3.设B是开区间)2,0(中有理点的全体，则mB。4.单调函数的不连续点集的基数是。5.设E是]1,0[上的Cantor集，则E。6.闭区间],[ba上的有界函数)(xfRimann可积的充要条件是。7.狄利克雷函数函数)(xD是可积的，dxxD)(]1,0[。２1.计算dxxnxnRn10242121)(lim。2.设020\]1,0[,;,)(PxxPxxxf，其中0P是Cantor集，试计算]1,0[)(dxxf。1.证明：}1|{}0|{1nxxxxn3.如果0mE，则E的任何子集也可测且测度为零4.4.设)(xf在E上可积，且..).()(eaxgxf于E，证明：)(xg也在E上可积。5.可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合])([rxfE是可测集。