数理统计学总复习(大连理工出版社-滕素珍著)

总复习数理统计1December2019第1页第1-2章基本概念复习§1.1总体与样本§1.2数据的整理与显示§1.3统计量及其分布§1.4三大抽样分布总复习数理统计1December2019第2页§1.1总体与样本1.总体研究对象的全体称为总体，总体中每个成员称为个体，一、总体和个体总复习数理统计1December2019第3页统计中，总体这个概念的要旨是：总体就是一个概率分布.总体用一个随机变量及其分布来描述.总体的三层含义：•研究对象的全体；•数据——数量指标集；•分布——描述总体规律性。总复习数理统计1December2019第4页二、样本样本:从总体中抽取的部分个体或子样。由于样本抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用X1,X2,…,Xn表示；当样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，用小写字母x1,x2,…,xn表示。n称为样本容量。样本的要求：随机性；独立性；同分布性。总复习数理统计1December2019第5页设总体X具有分布函数F(x),X1,X2,…,Xn为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为11(,...,)().nniiFxxFx样本的联合概率密度函数为),,,(2nxxxp=f(x1)f(x2)…f(xn)总复习数理统计1December2019第6页3、样本数据的图形显示(1)直方图(2)折线图。1、搜集数据方法2、数据整理——频数，频率分布表§1.2样本数据的整理与显示总复习数理统计1December2019第7页定义.),,,(,,,),,,(,,,21212121个统计量称是一中不含未知参数，则的函数，若是的一个样本，是来自总体设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),,X(),,(,,,,,,X21212121的观察值计量也是统则是一个样本的观察值的一个样本是来自总体设nnnnXXgxxxgxxxXXX§1.3统计量与经验分布函数总复习数理统计1December2019第8页样本均值niiXnX11样本方差niiXXnS122)(11样本标准差niiXXnS12)(11总复习数理统计1December2019第9页nikikXnA11样本k阶原点矩样本k阶中心矩nikikXXnB1)(1总复习数理统计1December2019第10页定理有和样本方差则样本均值来自总体的一个样本，是，，方差为的均值为设总体2212,,,XSXXXXn2(),(),EXDXn22)(SE总复习数理统计1December2019第11页次序统计量及其分布一、定义设X1,X2,…,Xn是取自总体X的样本,X(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。其中X(1)=minX1,X2,…,Xn称为最小次序统计量X(n)=maxX1,X2,…,Xn称为最大次序统计量。总复习数理统计1December2019第12页二、单个顺序统计量的分布定理设总体X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x)，X1,X2,…,Xn为样本，则第k个顺序统计量X(k)的密度函数为)())(1())(()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk)()](1[)(11xpxFnxpn)()]([)(1xpxFnxpnn特别地，X(1)，X(2)的密度函数为：总复习数理统计1December2019第13页经验分布函数设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为x(1),x(2),…,x(n)，则称x(1),x(2),…,x(n)为有序样本，用有序样本定义如下函数(1)()(1)()0,()/,,1,2,...,11,kknnxxFxknxxxknxx总复习数理统计1December2019第14页§1.4三大抽样分布)(~22n记为21、分布:定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.nXXX,,,21222212nXXX2总复习数理统计1December2019第15页),,(2N1.设相互独立,都服从正态分布nXXX,,,21则)(~)(121222nXnii).(~21221nnXX则),(~),(~222121nXnX分布的性质22．设且X1,X2相互独立，总复习数理统计1December2019第16页E(X)=n,D(X)=2n.,),(~.222分布的数学期望与方差若４n分布的分位点2.5)(222)()(ndyyfnP,10，对于给定的正数称满足条件总复习数理统计1December2019第17页2、F分布),(~),(~2212nVnU定义:设U与V相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称第二自由度，记作21nVnUFF~F(n1,n2).121nUnVF~F(n2,n1)总复习数理统计1December2019第18页4）F分布的分位数称满足条件，对于给定的,10),(2121)(),(nnFdyynnFFp),(1),(12211nnFnnF总复习数理统计1December2019第19页定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量nYXt所服从的分布为自由度为n的t分布.)(2n3、t分布).(~ntt记为总复习数理统计1December2019第20页分布的性质：t)2()2()(,0)(),(~.1nnntDtEntttn与方差为：其数学期望分布的具有自由度为).1,0(.2~Ntn近似足够大时，当)()()(ntdtthnttp称满足条件，对于给定的分布的分位点,10.3t总复习数理统计1December2019第21页定理设X1,X2,…,Xn是来自N(,2)的样本，其样本均值和样本方差分别为3)(n1)s2/22(n1)。抽样分布的重要结论niiXnX11niiXXnS122)(11则),(~2nNX1)与s2相互独立；2)X总复习数理统计1December2019第22页推论1设X1,X2,…,Xn是来自N(,2)的样本，其样本均值和样本方差分别为2)(n1)s2/22(n1)。niiXnX11niiXXnS122)(11则有)1,0(~/NnXU1)3)t(n1)。nSXt/总复习数理统计1December2019第23页推论2设X1,X2,…,Xn是来自的样本，)1,0(~)(222121NmnYX1)),(~211NX。与且是来自YXNYYYYm),,(~,,22221，则表示它们的均值和方差独立。以2221,,,SSYX)1,1(~//22222121mnFSS2)特别，若12=22，则F=s12/s22F(n1,m1)总复习数理统计1December2019第24页推论3在推论5.4.2的记号下，设12=22=2，并记则2)()(2)1()1(1122222nmyyxxnmsnsmsminiiiyxw)2(~11)()(21nmtnmsyxw总复习数理统计1December2019第25页第3章参数估计§3.1点估计的几种方法§3.2点估计的评价标准§3.4贝叶斯估计§3.5区间估计总复习数理统计1December2019第26页参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。设总体X服从分布F(x,），为未知参数设x1,x2,…,xn是来自总体X的一个样本，我们用一个统计量的取值作为的估计值，称为点的估计（量），简称估计。1ˆˆ(,,)nxxˆ总复习数理统计1December2019第27页§3.1点估计3.1.1矩法估计nijijjXnaXE11)(用样本矩去替换相应的总体矩，1ˆ(,,),1,,,jjkaajk总复习数理统计1December2019第28页3.1.2极(最)大似然估计定义设总体的概率函数为P(x;)，是参数可能取值的参数空间，X1,X2,…,Xn是样本，将样本的联合概率函数看成的函数，用L(;x1,x2,…,xn)表示，简记为L()，称为样本的似然函数。112()(;,,)(;)(;)(;)nnLLxxpxpxpx总复习数理统计1December2019第29页如果某统计量满足则称是的极(最)大似然估计，简记为MLE1ˆˆ(,,)nxxˆ()max()LLˆ为了便于运算，通常由对数似然函数lnL()出发寻找的极大似然估计。总复习数理统计1December2019第30页(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的最大似然估计值.求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：(1)由总体分布导出样本的联合联合密度;(2)把样本联合密度中自变量看成常数,把参数看作自变量,建立似然函数L();(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;总复习数理统计1December2019第31页定义3.1设∈Θ为未知参数，是的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个ε0，有则称为参数的相合估计。1ˆˆ(,,)nnnxxˆlim(||)0nnPˆn3.5点估计的优良性1相合性(一致性）总复习数理统计1December2019第32页在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。定理3.4设是的一个估计量，若则是的相合估计，1ˆˆ(,,)nnnxxˆˆlim(),lim()0nnnnEVarˆn由大数定律样本均值是总体均值的相合估计；样本标准差是总体标准差的相合估计；样本变异系数是总体变异系数的相合估计。总复习数理统计1December2019第33页2无偏性定义3.2设是的一个估计，的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有则称是的无偏估计，否则称为有偏估计。1ˆˆ(,,)nxxˆ()Eˆ总复习数理统计1December2019第34页3有效性定义3.3设是的两个无偏估计，如果对任意的∈Θ,有且至少有一个∈Θ使得上述不等号严格成立，则称比有效。12ˆˆ,12ˆˆVar()Var(),1ˆ2ˆ总复习数理统计1December2019第35页3.6.1置信区间的概念定义3.7x1,x2,…,xn是来自该总体X的样本，对给定的一个(01)，若有两个统计量和，对任意的∈Θ，有),,,(21nxxx),,,(21nxxx1)(P§3.6参数的置信区间则称随机区间为的置信水平为1-的置信区间，或简称是的1-置信区间.],[],[总复习数理统计1December2019第36页求置信区间一般方法步骤如下：1.构造一个样本和的函数G=G(x1,x2,…,xn,)使得G具有已知分布。2.适当地选择两个常数c,d，使对给定的(01)有P(c≤G≤d)=1-3.若能将c≤G≤d进行等价变形化为则是的1-置信区间。],[总复习数理统计1December2019第37页3.6.2正态总体参数的置信区间设X1,…Xn是取自的样本，),(2N参数:2、1置信度:的置信区间.1置信度为求参数2、总复习数理统计1December2019第38页~N(0,1)求参数的置信度为的置信区间.设X1,…Xn是取自的样本，,2已知),(2N1n