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拉普拉斯变换与传递函数拉普拉斯变换•定义•典型函数的拉氏变换)()(sFtf22cossst21st1)(tst1)(132121staseat122sinst基本性质1、线性性质2、微分性质4、终值定理5、初值定理3、积分性质7、卷积定理6、位移定理传递函数rucuRCirccuudtduRC,设0)0(cu则有)()()()()()(sUsURCssUsUsRCsUrcrcc1即)()(sURCssUrc11)(sUr)(tur。其中随形式而变,而完全由网络的结构及参数确定。11RCs11RCssUsUsGrc)()()().()()(sUsGsUrc令,则有网络为例。RC以1、定义:对于线性定常系统来说,当初始条件为零时,输入量拉氏变换与输出量拉氏变换之比叫做系统的传递函数。.)()()(sRsCsGG(s)R(s)C(s)反映了系统自身的动态本质,表达了传递信号的性质和能力,故称它为RC网络的传递函数。数值来决定,且)(sUr)(sUc)(sG)(sG)(sUr)(sG若不变,则的特性完全由将传到了的形式与).(sUc设线性定常系统的微方一般形式为:)()()()(11110tcadttdcadttcdadttcdannnnnn)()()()(11110trbdttdrbdttrdbdttrdbmmmmmm当初始条件为零时,根据拉氏变换有:)(][)(][sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn11101110是复变量s的函数,故称为复放大系数。为复数,js)(sGnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(则可见:有了微分方程,可以直接写出其传递函数,与c(t)有关的项为分母,与有关的项为分子。)(trrcccuudtduRCdtudLC22例2.RLC网络:微分方程11)(2RCsLCssG则传递函数2.性质与说明:(1)传递函数是复变量s的有理真分式,具有复变函数的所有性质,且所有系数均为实数。rccuudtduT例1.RC网络:微分方程则传递函数11)(TssG(2)传函是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与r(t)的形式无关,也不反映系统内部的任何信息。(3)传函是描述线性系统动态特性的一种数学模型,而形式上和系统的动态微方一一对应。但只适用于线性系统且初始条件为零的情况下,原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。(4)传函是系统的数学描述,物理性质完全不同的系统可以具有相同的传函。在同一系统中,当取不同的物理量作输入或输出时,其G(s)一般也不相同,但却具有相同的分母。该分母多项式称为特征多项式。(形成的方程叫特征方程)(5)传函是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条件有两方面的含义:①指r(t)是在时才作用于系统,在t=0-时,r(t)及其各阶导数均为零。0t②指r(t)加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即c(t)及其各阶导数在时的值也为零。0t例5.无源RC网络求。复阻抗法)(sGrucuC1R2R解:CsRZ11122RZCsRRRZZZsG1212212)(11212212sTTsTCsRRCsR)()((1)零、极点表示法:nnnnmmmmasasasbsbsbsabsG''11'1''11'100)()())(()())((2121nmgpspspszszszsKniimjjgpszsK11)()(jzs当时,G(s)=0.jz为传函的零点。当时,G(s)=ips,ip为传函的极点。传函的其他表示法:而——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)00abKg(2)时间常数表示法:11)(111111scscscsdsdsdabsGnnnnmmmmnm)1()1)(1()1()1)(1(2121sTsTsTsssKnmniimjjsTsK11)1()1(nmabK其中――放大系数。iijjpTz11,,niimjjgpzKK11)()(且有(3)二项式表示法:222121))((1nnsspsps如21.pp为一对共轭复数,则有121)1)(1(12221TssTsTsT或系统可能还会有零值极点,若为个,则有:212112211221122nllllniimkkkkmjjsspssszssKsG)()()()()(212112211221)12()1()12()1(nllllniimkkkkmjjsTsTsTssssK在此:.2,22121nnnmmm(4)一般表示法:二、典型环节及其传函:从上述传函的一般表示中看出,任何系统均由、、、、1111TsssK12122TssT等环节组成,此为典型环节。(一)比例环节:1、微分方程:c(t)=Kr(t)k1)(tc)(tc)(tr)(trt2、传函:G(s)=K.既无零点也无极点。3、响应:若r(t)=1(t),则c(t)=K1(t)。输出与输入成比例,不失真也不延时,如无弹性变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等。rucu1R2RT)(tc)(tc)(tr)(trt01.微分方程:)()()()(trdttdcTdttrKtc]1[KT2.传递函数:TssG1)(只有一个零值极点。(二)积分环节:3.阶跃响应:ssRttr1)().(1)(tTtcTssC112)(,)(TsRCssG11)()()(sCsURsUcr时所需的时间。其中T=RC是增长到curu▲象积分器:T2T3T4T)(tc)(tr)(tr)(tc0.632t)()()(trtcdttdcT1.微方:有一个负极点11)(TssGTp12.传函:TssTsssC111)1(1)(ssRttr1)(),(1)(3.响应:(三)惯性环节:Ttetc1)(如RC网络、LR回路。LRrui为out(四)微分环节:dttdrtc)()(1.微方:2.传函:ssG)(,只有一个零值零点。RrucuC)()(ttct)(tc)(tr则)(tc——阶跃函数)(1)(tttr若因此微分环节能预示的变化趋势。)(trfutctr)(,)(如测速机sssc)(—脉冲函数,ssRttr1)(),(1)(3.响应:,则,dtdKuff因此运放组成的微分器:.)()()(sRCssGsCsURsUrc实际系统中,微分环节常带有惯性,如右图的RC网络:.)(111ssRCsRCsCsRRsGCRrucu1.)(ssG当时,才有(五)一阶微分环节:C1R2R1Z2Zrucu)()()(trddttdrtc1.微方:1)(ssG2.传函:1z有一个负值零点同样实际中常带有惯性,如右图的RC网络:2211111111RZCsRRCsRCsRZ1212121122212)1(1)(RRCsRRCsRRCsRRRRZZZsG1112121212CsRRRRCsRRRR11)(TsTssG则RCTRRR,212令只有当1T)1()(TssG时,才有(六)振荡环节:)()()(2)(222trtcdddttdcTdttcdT1.微方:2221222121)(nnnTssTssTsGn2.传函:122.1nnp有两个极点:njp2.1:01)(np2.1:12)(为两个不2.1:13p)(相等的负实根。22.11:104nnjp)(一对共轭复数根。(输出延迟后复现输入)(七)延迟环节:Aot)(tr)(tr)(tc)(tcr(t)1234t10)(tc如枢控电机、R-L-C网络、动力系等。)(1)(ttr2.响应:当时,图所示。四种不同的响应如sssseess11!31!2111133223.处理方法:展开成泰勒级数:很小时,可将sesG)(se为超越函数,当sesG)(2.传函:如皮带传输机、晶闸管整流装置等。1.微方:).(1)()(ttrtc即将延迟环节近似为惯性环节。•方框图的基本连接方式•方框图的基本连接方式有三种:串联、并联、反馈。•复杂系统的方框图都是由这三种基本的连接方式组合而•成的。•1.串联•在串联连接方式中,n个环节首尾相连,•前一个环节的输出作为后一个环节的输入。G1(s)RG2(s)…Gn(s)C•结论:n个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数•的乘积:)()()()()(121sGsGsGsGsGinin方框图可化简为:•2.并联•在并联连接方式中,n个环节的输入相同,而总输出为各环节输出的代数和。G1(s)G2(s)CR+++…Gn(s)•结论:n个环节并联后的总传递函数等于各环节的传递函•数之代数和:方框图可化简为:•3.反馈•反馈连接方式的一般形式是将系统的输出信号C(s)在经过某个环节H(s)后,反向送回到输入端。G(s)ECH(s)B±R•从E(s)到C(s)的通道称为前向通道,从C(s)到B(s)的通道称为•反馈通道。前向通道和反馈通道在系统中形成闭合回路。从•R(s)到C(s)的传递函数称为闭环传递函数,一般用Φ(s)表示。•根据反馈信号B(s)加在相加点的极性,反馈连接方式可以分为•负反馈和正反馈。•在负反馈的情况下:•C(s)=G(s)E(s)=G(s)[R(s)-B(s)]=G(s)[R(s)-H(s)C(s)]•即•[1+G(s)H(s)]C(s)=G(s)R(s)•整理得)()(1)()()(sHsGsGsRsC相应的,在正反馈的情况下:)()(1)()()(sHsGsGsRsC方框图可化简为:反馈信号B(s)与误差信号E(s)的比值,称为系统的开环传递函数)()()()(sHsGsEsB)()()(sGsEsC输出信号C(s)与误差信号E(s)的比值,称为系统的前向通道传递函数对于反馈连接,闭环传递函数开环传递函数前向通道传递函数1若反馈通道的传递函数H(s)=1,则称闭环系统为单位反馈系统。此时,系统的开环传递函数=系统的前向通道传递函数
本文标题:拉普拉斯变换与传递函数
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