03消费者理论：对偶与显示偏好

微观经济学:对偶与显示偏好（Consumer’sTheory）版权所有，仅供复旦大学学生学习使用，未经允许请勿擅自引用或传播PublicFinanceConsumer’sTheory2Whathavewelearned?马歇尔需求函数与间接效用函数希克斯需求函数与支出函数几个重要的恒等式需求函数的性质与禀赋PublicFinanceConsumer’sTheory3补充：Hicks补偿与Slutsky补偿两种补偿概念：Hicks补偿：在新价格水平下，保持原来的效用水平，收入必须发生的变化△m=e(p+△p,u)-e(p,u)x(p+△p,m+△m)=x(p+△p,e(p+△p,u))Slutsky补偿：在新价格水平下，保持原来的购买力，收入必须发生的变化△m=△p.x(p,m)等价性PublicFinanceConsumer’sTheory4h00112(,,)xppux0x1xhHicks补偿0112(,,)xppy01p02ph01112(,,)xppux0=x(p0,y)x1=x(p1,y)xh=h(p1,u0)=x(p1,y+y)x2x1x1p1y/p2u1u0PublicFinanceConsumer’sTheory5对偶与显示偏好DualityandRevealedPreferencesPublicFinanceConsumer’sTheory6Questions如何从间接效用函数得到直接效用函数？消费者行为理论中的对偶性理性偏好假设是必须的吗？显示偏好PublicFinanceConsumer’sTheory7货币测度的效用函数若偏好满足严格单调性，则e(p,u)对u严格递增u(·)对正单调变换具有不变性用e(p,u)代表效用、偏好——货币测度的效用函数(Chap.7.5)PublicFinanceConsumer’sTheory8货币测度的直接效用函数给定p，对于消费束x，为购买与x同样好的消费束所需要的最小支出？m(p,x)≡e(p,u(x))称上述m(p,x)为货币测度的直接效用函数Minz0pzs.t.u(z)u(x)xzPublicFinanceConsumer’sTheory9货币测度的间接效用函数给定p，对于(q,m)，至少需要多少货币才能达到(q,m)下所能达到的效用水平？u(p;q,m)≡e(p,v(q,m))称上述u(p;q,m)为货币测度的间接效用函数Minz0pzs.t.u(z)v(q,m)PublicFinanceConsumer’sTheory10货币度量的效用函数含义：在价格p下，消费者需要多少货币才能与其消费商品束x的境况一样好？m(p,x)类似于支出函数(对p单调、齐次、凹)m(p,x)还是一个效用函数(当p固定时，对x)P固定，e(p,u)对u递增。若偏好满足连续性、严格单调性，e(p,u)对u严格递增。m(p,x)是效用函数的正单调变换。PublicFinanceConsumer’sTheory11应用：货币测度的效用函数应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数例1：已知两商品经济下的支出函数为e(p1,p2,u)=Kp1ap21-au求相应的间接效用函数、直接效用函数、货币测度的效用函数、需求函数m=e(p,u)；v(p,m)=u，则有：v(p,m)=m/(Kp1ap21-a)又由货币测度的间接效用函数的定义，有：u(p;q,m)≡e(p,v(q,m))=p1ap21-am/(q1aq21-a)直接效用函数？m(p,x)≡e(p,u(x))=Kp1ap21-ax1ax21-aPublicFinanceConsumer’sTheory12应用：货币测度的效用函数应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数例2：已知两商品经济下的效用函数为u(x1,x2)=(x1a+x2a)1/a求相应的需求函数、货币测度的直接和间接效用函数由支出最小化，可得e(p,u)=(p1b+p2b)1/bu从而，替换v(p,m)=u，则有：v(p,m)=m(p1b+p2b)-1/b又由Roy恒等式，可得x1(p,m),x2(p,m)再由货币测度的直接效用函数的定义，有：m(p,x)≡e(p,u(x))=(p1b+p2b)1/b(x1a+x2a)1/a以及货币测度的间接效用函数的定义，有：u(p;q,m)≡e(p,v(q,m))=(p1b+p2b)1/b(q1b+q2b)-1/bmPublicFinanceConsumer’sTheory13小结：eu偏好EMP(p,)euUMP(p,m)vx(p,)mh(p,)uRoy恒等式Shephard引理恒等式可积性对偶恒等式p·h货币测度的效用函数PublicFinanceConsumer’sTheory14间接效用函数与偏好偏好EMP(p,)euUMP(p,)vy从间接效用函数能够恢复其偏好关系PublicFinanceConsumer’sTheory15偏好EMP(p,)euUMP(p,m)vx(p,)mh(p,)uRoy恒等式Shephard引理恒等式可积性对偶恒等式p·h货币测度的效用函数小结PublicFinanceConsumer’sTheory16定理在上拟凹而且可微，一阶偏导严格为正，那么间接效用函数在上取得最小值，并且有：p0(x)min(p,px)uv(p,px)v(x)unRnRPublicFinanceConsumer’sTheory17直接效用函数的构造:vu(p,)vyp0(p,px)(x)vumax(x)s.t.pxuyxnR(p,)(x)pxvyuify如果p0(p,px)(x)vup0(x)min(p,px)uv有PublicFinanceConsumer’sTheory18从间接效用函数到直接效用函数将收入标准化为1，则：从而，直接效用函数为：PublicFinanceConsumer’sTheory19定理在上拟凹而且可微，一阶偏导严格为正，那么间接效用函数在上取得最小值，并且有：p0(x)min(p)..1uvstpx(p,px)v(x)unRnRPublicFinanceConsumer’sTheory20对偶应用：v到u一个例子：已知v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2，求u(x1,x2)Minp:v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2st.:p1x1+p2x2=mPublicFinanceConsumer’sTheory21应用：从v到u由直接效用函数的求解，i/p/ijjjuxxuxPublicFinanceConsumer’sTheory22反需求函数Hotelling’sLemma：设u(x)是消费者的效用函数，那么商品i的反需求函数为(x)iipp1(x)/(x)((x)/)iinjjjuxpxux1,2,...,inPublicFinanceConsumer’sTheory23证明p0min(p,1)vpx1(p,)(p,1)(1px)vL包络定理：**(x)(x,)iiiupxxL1,2,...,in***11(x)nniiiiiiuxpxx)(xuSt.:PublicFinanceConsumer’sTheory24例：求反需求函数1/111212(,)()iiuxxxxxx*111112()pxxx*112212()pxxx/12121)(),(xxxxuPublicFinanceConsumer’sTheory25显示偏好PublicFinanceConsumer’sTheory26显示偏好偏好假设（or理性偏好or一致偏好）对于现代消费者理论是必需的吗？No显示偏好从消费者的选择行为出发研究消费者的需求规律PublicFinanceConsumer’sTheory27显示偏好古典需求理论对不可观察的偏好进行公理化假设最优化行为RevealedPreferece可观察的选择出发+一致性假设需求行为•Samuelson（1947）PublicFinanceConsumer’sTheory28显示偏好与偏好显示偏好：(x1,x2)是(y1,y2)的直接显示偏好支付得起而未选择的消费束必较不受偏好∙（x1,x2）∙（y1,y2）22112211ypypxpxp•从显示偏好到偏好：•(x1,x2)(y1,y2)•行为假设：消费者总是选择能支付起的最佳消费束PublicFinanceConsumer’sTheory29间接显示偏好∙（x1,x2）∙（y1,y2）∙（z1,z2）(x1,x2)(z1,z2)思考：经过（x1,x2）的无差异曲线位置？恢复偏好PublicFinanceConsumer’sTheory30恢复偏好经过X点的无差异曲线●●X●y●ZPublicFinanceConsumer’sTheory31显示偏好弱公理(WARP)若(x1,x2)被直接显示偏好于(y1,y2)，且两者不同，则后者不可能被直接显示偏好于前者违反WARP（图）22112211ypypxpxp22112211''''ypypxpxp∙（x1,x2）∙（y1,y2）PublicFinanceConsumer’sTheory32显示偏好弱公理(WARP)满足WARP（图）∙（x1,x2）∙（y1,y2）PublicFinanceConsumer’sTheory33检验显示偏好弱公理实际观测：计算购买成本：(p1,p2)(x1,x2)(1,2)(2,1)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)(x1,x2)(p1,p2)(1,2)(2,1)(2,2)(1,2)(2,1)(1,1)54*3*4*53*664PublicFinanceConsumer’sTheory34显示偏好强公理(SARP)若(x1,x2)被直接或间接显示偏好于(y1,y2)，且两者不同，则后者不可能被直接或间接显示偏好于前者这是最优化行为对消费者的全部要求PublicFinanceConsumer’sTheory35习题已知求U(X)消费者仅消费两种商品，具体信息如下表。问：消费者在第二年购买的商品2数量在什么范围内可以表明：（1）违反显示偏好弱公理；（2）消费者第一年的消费束显示偏好于第二年的消费束；（3）消费者第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束；（4）商品一是劣等品（假设显示偏好弱公理满足）；（5）商品二是劣等品（假设显示偏好弱公理满足）.第一年第二年数量价格数量价格商品一100100120100商品二100100？801/1212(,,)()rrrvppmmppPublicFinanceConsumer’sTheory36本次课程内容主要参考资料Varian,MicroeconomicAnalysis.[M-W-G]Chap3.F[J-R]