场论基础

1场论基础附1Hamilton算子在直角坐标系中定义Hamilton算子为xyzijk（附1.1）这里，既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘()运算和叉乘()运算。附1.1梯度运算graduu对于一个标量场(,,)uxyz，我们定义相关的梯度运算为graduuuuuxyzijk（附1.2）那么标量函数(,,)uxyz的梯度运算结果gradu为一向量。下面我们来看梯度运算的数学意义。对于函数(,,)uxyz的方向导数un，我们有cos(,)cos(,)cos(,)()()gradxyzuuxuyuznxnynznuuunxnynzxyzuuunnnuxyyijkijkn（附1.3）因此有gradcos(,)uuunn（附1.4）从中可以看到，当单位向量n的方向和梯度gradu的方向一致时，un取到极大值，而极大值就为gradu。这就是说，梯度gradu为函数(,,)uxyz变化最快的方向，也是等值函数(,,)uxyzC的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。从上面的分析我们可以看到，梯度gradu的定义和坐标系是无关。梯度gradu在数值计算方法中有很重要意义。附1.2散度运算divAA对于一个向量场(,,)xyzA，沿某一个曲面S的通量定义为dSSAn(附1.5)更进一步，如果S是个封闭曲面，其所包围的区域，体积为V，那么当20ddivlimlimdSVMSVVAnA(附1.6)存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域退化成一点M)。下面我们来看散度和Hamilton算子之间的关系。在直角坐标中，如果向量场(,,)xyzA为(,,)(,,)(,,)(,,)xyzPxyzQxyzRxyzAijk那么由高斯公式ddddddddSSSPyzQxzRxyPQRVxyzAn根据中值定理*MPQRVxyz其中*M为区域中某一点，当0V时，*MM，所以00limlimVVPQRVxyzVVPQRxyz从而有divAA（附1.7）而高斯公式也可以表示为ddivdSSVAnA（附1.8）特别地，当在区域内恒成立div0AA时，则0。这样的场我们称之为无源场。在平面坐标系中，我们记通量为dnlAs其中nA为向量A在曲线l外法线n的方向上的分量。曲线l的外法线方向为ddcos(,)cos(,)ddyxlxlyssnijij容易得到dd,,0ddxyzyxnnnss在三维问题中若记为单位高的柱体，0R，则(,)(,)(,)xyPxyQxyAij而式(附1.5)、(附1.6)和(附1.8)变为3dddllsPyQxAn(附1.9)ddivlimlimddlSMSMSsSxyAnA(附1.10)dd()ddlPPPxQxxyxx(附1.11)因此，平面上的格林公式也可以视为高斯公式在平面情形中的退化。附1.3旋度运算rotAA对于一个向量场(,,)xyzA，沿某一个封闭曲线l的环量定义为dlWAs(附1.12)在直角坐标中，如果向量场(,,)xyzA为(,,)(,,)(,,)(,,)xyzPxyzQxyzRxyzAijk那么环量为dddlWPxQyRz如果M为向量场中某一点，在M点上有一个固定的方向n，以n为外法线取一个小曲面S，曲面S的面积为，曲面S的封闭边界为l，l的正向与n一起构成右手坐标系。我们定义环量面密度为0dlimlAl(附1.13)根据斯托克斯(G.G.Stokes)公式，d()dd()dd()dd()cos(,)()cos(,)()cos(,)dllyzzxxySyzzxxySWPdxQdyRdzRQyzPRzxQPxyRQnxPRnyQPnzSAl根据中值定理*()cos(,)()cos(,)()cos(,)yzzxxyMWRQnxPRnyQPnz从而有()cos(,)()cos(,)()cos(,)yzzxxyRQnxPRnyQPnzRn(附1.14)其中()()()yzzxxyRQPRQPRijk我们称该向量为向量场(,,)xyzA的旋度，记为rotA。和标量场的方向导数类似，当外法4线方向n和旋度方向一致的时候，环量面密度的值最大，大小为旋度rotA的模。沿某一方向n的环量面密度为旋度rotA在该方向上的投影。斯托克斯(G.G.Stokes)公式可以表示成旋度的形式drotdlSSAsAn(附1.15)把旋度记成行列式形式有rotxyzPQRijkA也就是说rotAA(附1.16)特别地当在某一区域内恒有rot0A，我们称该向量场为无旋场。附1.4几种比较重要的场附1.4.1有势场对于一向量场()Ax，存在一个单值函数()ux使得()graduuAx(附1.17)我们称该向量场是一有势场，或者是一个梯度场。性质1向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零。附1.4.2管形场(无源场)对于一向量场()Ax，如果其散度处处为零，div0AA，我们称该向量场是一管形场。性质1管形场中任意一个矢量管上两个截面的通量保持不变。性质2矢量场为管形场的充要条件为它是另外一个矢量场的旋度场。附1.4.3调和场对于一向量场()Ax，如果恒有div0AA及rot0AA，我们称该向量场是一调和场。也就是说，调和场既无源又无旋。根据有势场性质，向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零，所以对于调和场，一定存在势函数u，使得graduA，又根据定义有div0A，因此有div(grad)0u写成Hamilton算子形式为()0u或者记为0u(附1.18)其中为拉普拉斯(Laplace)算子,上述方程称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数u称为调和函数。在直角坐标中，拉普拉斯算子为5222222xyz在平面问题中，对于调和场，我们可以找到一对调和函数u和v，它们满足0u0v,uvuvxyyx(附1.19)我们称它们为共轭调和场。附1.5Hamilton算子性质先引入两个关于向量的恒等式:向量的混合积和二重矢量积等式(1)()(()abc=bca)=cab(附1.20)证明:设某一平行六面体三条棱分别为,,abc,从平行六面体的体积出发可以证明上式。(2)()()()abc=acbabc(附1.21)证明:很明显()mabc必定在b与c所在的平面,假设khmbc那么()()()0khmabacaabca从中可以得到()khcaba所以()()hmacbabc上式对所有的,,abc都应成立。为了求出h的值,我们假设,abicj,那么()()()()[()()]hhhmabciijikjmacbabcijiiijj比较可得1h，从而，式(附1.21)成立。以下是哈密尔顿算子的常用公式∶1)()ABABBA2)()()()()()CCABABABBAAB3)()()()CCABABAB()()()()ABABBABA4)()()()()AAAAA5)高斯公式ddSSVAnA6)格林公式ddnlSAsSA67)斯托克斯(G.G.Stokes)公式ddlSSAsAn附2正交曲线坐标系正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为123(,,),1,2,3iiqqxxxi或者123(,,),1,2,3iixxqqqi沿曲线坐标线iq的微元长度(平分)为2233211dddjjiiijjiixxsqqqq如果记231jijixHq(附2.1)那么ddiiisHq我们把iH称为Lame系数。同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为ddddd,,1,2,3ijijijijSssHHqqij(附2.2)123123123dddddddVsssHHHqqq(附2.3)在直角坐标系统中一般弧线的长度为322221231ddddddiiisxxxxx在曲线坐标系中的长度表示为2222222112233ddddsHqHqHq(附2.4)空间中任意一点在直角坐标系中的表示为112233xxxriii(附2.5)其中ji为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。在曲线坐标系中31jjjiixqqri(附2.6)其长度为231jijiixHqqr所以有iiiHqre(附2.7)其中ie为沿曲线坐标系的单位矢量。