场论初步

返回后页前页*§4场论初步在物理学中,曲线积分和曲面积分有着广泛的应用.物理学家为了既能形象地表达有关的物理量,又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算,使用了一些特殊的术语和记号,在此基础上产生了场论.一、场的概念返回五、管量场与有势场四、旋度场三、散度场二、梯度场返回后页前页一、场的概念若对全空间或其中某一区域V中每一点M,都有一个数量(或向量)与之对应,则称在V上给定了一个数量场(或向量场).例如:温度和密度都是数量场,M的位置可由坐标确定.因此给定了某个数量场就总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每重力和速度都是向量场.在引进了直角坐标系后,点等于给定了一个数量函数(,,),uxyz在以下讨论中返回后页前页个向量场都与某个向量函数(,,)(,,)i(,,)j(,,)kAxyzPxyzQxyzRxyz相对应.这里P,Q,R为所定义区域上的数量函数,并假定它们有一阶连续偏导数.设L为向量场中一条曲线.若L上每点M处的切线ddd,xyzPQR方向都与向量函数在该点的方向一致,即A返回后页前页磁力线等都是向量场线.注场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质.则称曲线L为向量场的向量场线.例如电力线、A返回后页前页二、梯度场在第十七章§3中我们已经介绍了梯度的概念,它gradijk.uuuuxyz方向上的方向导数.gradu是由数量场u派生出来的一个向量场,称为是由数量函数所定义的向量函数(,,)uxyzgradu的方向就是使方向导梯度场.由前文知道,ul数达到最大值的方向,gradu就是在这个方返回后页前页(,,)uxyz(,,)uxyzc因为数量场的等值面的法线方向为,,,uuuxyz所以gradu恒与u的等值面正交.,,,xyz当把它作为运算符号来看待时,梯度可写作grad.uu引进符号向量返回后页前页1.若u,v是数量函数,则().uvuv2.若u,v是数量函数,则()()().uvuvuv特别地有2()2().uuu梯度有以下一些用表示的基本性质:注通常称为哈密顿(Hamilton)算符(或算子),读作“Nabla”.返回后页前页4.若(),(,,),ffuuuxyz则().ffuu12(,,,),mffuuu(,,),iiuuxyz5.若则1.miiiffuu这些公式读者可利用定义来直接验证.3.若(,,),(,,),rxyzxyz则dd.r返回后页前页mr试求的梯度.解2,,.mmxyzrrrrr若以0rOM表示上的单位向量,则有02.mmrrr222,rOMxyz例1设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于(,,),Mxyz记返回后页前页它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.mr这说明了引力场是数量场的梯度场,因此常称mr为引力势.返回后页前页三、散度场为V上的一个向量场.称如下数量函数:(,,)PQRDxyzxyzdiv.PQRAxyz设(,,)(,,)i(,,)j(,,)kAxyzPxyzQxyzRxyzA为的散度.这是由向量场派生出来的一个数量A场,也称散度场,记作返回后页前页高斯公式可写成如下向量形式:divdd.(1)VSAVASdivddiv()d,VSAVAMVAS设(cos,cos,cos)n为曲面S在各点的单位法向量,记,称为S的面积元素向量.于是ddSnS对上式中的三重积分应用中值定理,使得,MV在V中任取一点0.M0M0(),VM记作令V收缩到返回后页前页001div()limd.(2)VMSAMASV这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.0,MM则同时有对上式取极限,得到的不可压缩流体,经过封闭曲面S的流量是d.SAS0div()AM于是(2)式表明是流量对体积V的变化率,若0div()0,AM说明在每一单位时间内有一定数散度的物理意义联系本章§2中提到的,流速为A并称它为在点0M的流量密度.A返回后页前页称这点为“汇”.div.AA容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:量的流体流出这一点,则称这一点为“源”.0M若0div()0,AM说明流体在这一点被吸收,则0M若在每一点都有则称为“无源场”.Adiv0,AA的散度也可表示为矢性算符与的数性积:A返回后页前页().ABAB().AAA3.若(,,)xyz是一数量函数,则222222.xyz算符(),的内积常记作拉普拉斯算符于是.1.若是向量函数,则,AB2.若是数量函数,是向量函数,则A返回后页前页例2求例1中引力场2,,mxyzFrrrr所产生的散度场.解因为2222,rxyz所以22232(,,),()mFxyzxyz2223/22223/20.()()yzyzxyzxyz2223/2()xFmxxyz返回后页前页因此引力场在每一点处的散度都为零(除原点没F有定义外).返回后页前页为V上的一个向量场.称如下向量函数:设(,,)(,,)i(,,)j(,,)kAxyzPxyzQxyzRxyz场,也称旋度场,记作四、旋度场(,,)i+j+kRQPRQPFxyzyzzxxyroti+j+k.RQPRQPAyzzxxyA为的旋度.是由向量场派生出来的一个向量AF返回后页前页为便于记忆起见,可用行列式形式来表示旋度:ijkrot.AxyzPQR类似于用散度表示的高斯公式(1),现在可用旋度来表示斯托克斯公式:rotdd.(3)LSASAs返回后页前页其中为前述对于曲面S的面积元素向量;而dSds则是对于曲线L的弧长元素向量.对后者说明如下:设(cos,cos,cos)t是曲线L在各点处的正向单位切向量,弧长元素向量即为dd.sts把公式(3)改写成rotdd.(4)LSAnSAts对上式中的曲面积分应用中值定理,使得,MS返回后页前页在S上任取一点0.M0M0(),SM记作令S收缩到这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式.0,MM则同时有对上式取极限,得到rotdrotd.LMSAnSAnSAts001rotlimd.(5)LSMMAnAtsS为了由(5)式直观描述旋度的物理意义,不妨将其中的曲面块S改换为平面区域D(图22-12),这时(5)返回后页前页2212图0nD0ML0rot()AM式又被改写为001rotlimd.(6)LDMMAnAtsD在流速场中,曲线积分是沿闭曲线LdLAtsA返回后页前页的环流量,它表示流速为的不可压缩流体,在单位A时间内沿曲线L流过的总量.这样,1dLAtsD就反映了流体关于L所围面积的平均环流密度.当时,(6)式右边这个极限,就是流速场在0DMA点处按右手法则绕的环流密度.0Mn另一方面,(6)式左边的是0rotMAn0rot()AM在上的投影.由此可见,当所取的与0()nM0()nM返回后页前页0rot()AM同向时,该投影为最大.综合起来就可以说:这同时指出了旋度的两个基本属性:(i)的方向是在点处环流密度最大0rot()AMA0M的方向;(ii)0|rot()|AM即为上述最大环流密度的数值.在上的投影.”0rot()AMn“流速场在点处绕的环流密度,等于旋度A0Mn返回后页前页为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源,我们讨论刚体绕定轴旋转的问题.设一刚体以角速与旋转方向符合右手法则.当时,称向量场为“无旋场”.rot()0AMA度绕某轴旋转,则的方向沿着旋转轴,其指向2213图vOrPv若取定旋转轴上一点O作为原点(图22-13),刚体上任意一点P的线速度v返回后页前页,vrrOP可表示为其中是P的径向量,设(,,)xyz(,,).rxyzP的坐标为,便有又设(,,).xyz于是(,,),yzzxxyvzyxzyxrot(2,2,2)2,xyzv1rot.2v返回后页前页.就是旋转的角速度这也说明了旋度这个名称的rot.AAA表示应用算符的旋度是旋度有如下一些基本性质:(),ABAB这结果表明线速度的旋度除相差一个常数因子外,v来源.1.若是向量函数,则,AB返回后页前页()()()ABABBA(),ABBAAB()()()()().ABBAABBAAB()(),AAA2()()().AAAAA2.若是数量函数,是向量函数,则A()0,A0,这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证.()(),ABBA返回后页前页五、管量场与有势场式知道,此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零.中作一向量管(图22-14),即由向量线围成的管状的若一个向量场的散度恒A为零,即我们曾div0,A称为无源场.从高斯公A我们又把称作管量场.这是因为,若在向量场AA3S2S2214图1SA12,SS3S曲面.用断面去截它,以表示所截出的管返回后页前页的表面,这就得到了由123,,SSS所围成的封闭曲面S.于是由(1)式得出123dddd0.SSSSASASASAS外侧外侧外侧而向量线与曲面3S的法线正交,所以3d0,SAS外侧12dd0,SSASAS外侧外侧返回后页前页这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于12dd.SSASAS内侧外侧相同的,所以把场称为管量场.如例2,由的梯mrAmr度所成的引力场是一个管量场.F若一个向量场的旋度恒为零,即我们在Arot0,A前面称为无旋场.从斯托克斯公式知道,这时在空A返回后页前页零,这种场也称为有势场.这是因为当rot0A时,由定理22.5推得空间曲线积分与路线无关,且存在某函数(,,)uxyz,使得dddd,uPxQyRz即grad(,,).uPQR则必存在某个势函数u,使得grad.uA这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件.在例1通常称u为势函数.因此若某向量场的旋度为零,A返回后页前页中,引力势mur就是势函数.所以2,,.mxyzuFrrrr0u0.F因为恒成立,所以它也是引力若一个向量场既是管量场,又是有势场,则称这个向场是有势场的充要条件.F量场为调和场.上述例2中讲到的引力场就是调F和场.若是一个调和场,则必有A返回后页前页20,uuu即必有势函数u满足2222220.uuuxyz这时称函数u为调和函数.0,.AuA且显然