幂函数的性质

[键入文字]1课题函数零点教学目标幂函数的性质函数综合重点、难点幂函数性质的应用函数综合性质的运用教学内容教学过程：一、幂函数1．幂函数的定义⑴一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数；⑵11234,,yxyxyx等都是幂函数，在中学里我们只研究为有理数的情形；⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数.2．幂函数的图像⑵归纳幂函数的性质：①当0时：ⅰ）图象都过0,0,1,1点。ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且越大，上升速度越快。ⅲ）当1时，图象下凸；当01时，图象上凸。②当0时：ⅰ）图象都过1,1点。ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且越小，下降速度越快。思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？例题讲解：xyO21xy2xy2xy3xy1xyxy[键入文字]2例1写出下列函数的定义域和奇偶性（1）4yx（2）14yx（3）3yx（4）2yx例2比较下列各组中两个值的大小：（1）11662,3；（2）4314.3与43；（3）35)88.0(与53(0.89)．思考：.比较下列各数的大小：(1)2333441.1,1.4,1.1；(2)3338420.16,0.5,6.25.例3已知函数2212.mmfxmmx则当m为何值时，fx是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？例4已知函数画出23yx的大致图象。⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23yx的大致图象。二、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2、二分法对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε2、求区间(a,b)的中点x13、计算f(x1);(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点[键入文字]3(2)若f(a)·f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1))(3)若f(b)·f(x1)0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b))4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～★典型例题例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）解：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7对应值表与图象（如下):x01234567f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.33(1,1.5)1.25-0.87(1.25,1.5)1.375-0.28(1.375,1.5)1.43750.02(1.375,1.4375)由于|1.375-1.4375|=0.06250.1此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。★补充例题：例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)（2）设a为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(xaxx的实根的个数。解析：4321-1-2-3-4-5-6-2246810fx=2x+3x-701x0321321oyx[键入文字]4（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标0x，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较0x与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此0x＞2，从而判定0x∈(2，3)，故本题应选C。（2）原方程等价于xaxxxaxx)3)(1(00301即31352xxxa构造函数)31(352xxxy和ay，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31a或413a时，原方程有一解；②当4133a时，原方程有两解；③当1a或413a时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。（四）巩固提高一、选择题:1．已知幂函数fx的图象经过点22,2，则4f的值等于（）A.16B.116C.12D.21OxyC1C1C2C3C41XY123412340Y(x)=-x^2+5x-3创造的有高级的图表的试验版本-xay[键入文字]52．已知幂函数ayx、byx、cyx、dyx在第一象限内的图象分别是1C、2C、3C、4C，则a、b、c、d的大小关系是____________.3．下列幂函数中，定义域为（0，＋∞）的是（）A.23yxB.32yxC.23yxD.32yx4．若a0,则下列不等式正确的是（）A.220.2aaa；B.0.222aaa；C.20.22aaa；D.20.22aaa5．关于幂函数yx，下列结论正确的是（）A.图象都通过（0，0），（1，1）两点；B.当0时，幂函数为增函数；C.当0时，图象是一条直线；D.幂函数的图象不可能出现在第四象限。6．若幂函数qpyx（p、qZ且p、q互质）的图象过点（－1，1），则（）A．p为奇数，q为偶数，0pqB.q为奇数，p为偶数，0pqC.p为奇数，q为偶数，0pqD.q为奇数，p为偶数，0pq7、已知031log31logba，则下列不等式成立的（）A、10abB、10baC、1abD、1ba8、方程xx3)4(log2的实根个数为（）A、0B、1C、2D、39、设6log,7.0,67.067.0cba，则（）A．cbaB．acbC．abcD．bac一、选择题1．函数2)(xexfx的零点所在的区间是（）(A)（-2,-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）2．函数f(x)=23xx的零点所在的一个区间是()(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）3．若函数)(xfy在区间,ab上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf；B．若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf；C．若0)()(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf；[键入文字]6D．若0)()(bfaf，有可能不存在实数),(bac使得0)(cf；4．方程0lgxx根的个数为（）A．无穷多B．3C．1D．05．如果二次函数)3(2mmxxy有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．6,2B．6,2C．6,2D．,26,6．函数132)(3xxxf零点的个数为（）A．1B．2C．3D．47．设833xxfx，用二分法求方程2,10833xxx在内近似解的过程中得,025.1,05.1,01fff则方程的根落在区间（）A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定8．直线3y与函数26yxx的图象的交点个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．若方程0xaxa有两个实数解，则a的取值范围是（）A．(1,)B．(0,1)C．(0,2)D．(0,)10．已知)(xf唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A．函数)(xf在(1,2)或2,3内有零点B．函数)(xf在(3,5)内无零点C．函数)(xf在(2,5)内有零点D．函数)(xf在(2,4)内不一定有零点11．若0x是方程式lg2xx的解，则0x属于区间（）（A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）12．已知x0是函数f(x)=2x+11x的一个零点.若1x∈（1，0x），2x∈（0x，+），则（A）f(1x)＜0，f(2x)＜0（B）f(1x)＜0，f(2x)＞0（C）f(1x)＞0，f(2x)＜0（D）f(1x)＞0，f(2x)＞013．若1x是方程lg3xx的解，2x是310xx的解，则21xx的值为（）A．23B．32C．3D．3114．函数5()3fxxx的实数解落在的区间是()A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4][键入文字]715．在,,log,222xyxyyx这三个函数中，当1021xx时，使2)()()2(2121xfxfxxf恒成立的函数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个16．若函数()fx唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是（）A．函数()fx在区间(0,1)内有零点B．函数()fx在区间(0,1)或(1,2)内有零点C．函数()fx在区间2,16内无零点D．函数()fx在区间(1,16)内无零点17．求3()21fxxx零点的个数为（）A．1B．2C．3D．418．若方程310xx在区间(,)(,,1)ababZba且上有一根，则ab的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题19．已知函数()35xfxx的零点0,xab，且1ba，a，bN，则ab20．用“二分法”求方程0523xx在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20x，那么下一个有根的区间是。21．函数()ln2fxxx的零点个数为。22．设函数)(xfy的图象在,ab上连续，若满足，方程0)(xf在,ab上有实根．[来源:学#科#网]23．已知函数2()1fxx，则函数(1)fx的零点是_____．24．函数()fx对一切实数x都满足11()()22fxfx，并且方程()0fx有三个实根，则这三个实根的和为。25．若函数2()4fxxxa的零点个数为3，则a_____。答案：1.C,2.B3.C,4.D,5.D,6.C,7.B,8.A,9.A,10.C,11.D,12.B,13.C,14.B,15.B,16.C,17.A,18.C19.320.[2,2.5)21.222.()()