2009—数一真题标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x→时，()sinfxxax=−与()()2ln1gxxbx=−等价无穷小，则(A)11,6ab==−.(B)11,6ab==.(C)11,6ab=−=−.(D)11,6ab=−=.（2）如图，正方形(){},1,1xyxy≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4kDk=，coskkDIyxdxdy=∫∫，则{}14maxkkI≤≤=(A)1I.(B)2I.(C)3I.(D)4I.（3）设函数()yfx=在区间[]1,3−上的图形为则函数()()0xFxftdt=∫的图形为(A)(B)()fxO23x1-2-11()fxO23x1-2-11-1-111xy1D2D3D4D1()fx-2O23x-11(C)(D)（4）设有两个数列{}{},nnab，若lim0nna→∞=，则（A）当1nnb∞=∑收敛时，1nnnab∞=∑收敛.（B）当1nnb∞=∑发散时，1nnnab∞=∑发散.(C)当1nnb∞=∑收敛时，221nnnab∞=∑收敛.(D)当1nnb∞=∑发散时，221nnnab∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.(B)120023103⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.(C)111246111246111246⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠.(D)111222111444111666⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠.（6）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB==，则分块矩阵OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠的伴随矩阵为()A**32OBAO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.()B**23OBAO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.()C**32OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.()D**23OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.()fxO23x1-2-11()fxO23x1-11（7）设随机变量X的分布函数为()()10.30.72xFxx−⎛⎞=Φ+Φ⎜⎟⎝⎠，其中()xΦ为标准正态分布函数，则EX=(A)0.(B)0.3.(C)0.7.(D)1.（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布()0,1N，Y的概率分布为{}{}1012PYPY====，记()ZFz为随机变量ZXY=的分布函数，则函数()ZFz的间断点个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.（9）设函数(),fuv具有二阶连续偏导数，(),zfxxy=，则2zxy∂=∂∂.（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby′′′++=的通解为()12xyCCxe=+，则非齐次方程yaybyx′′′++=满足条件()()02,00yy′==的解为y=.（11）已知曲线()2:02Lyxx=≤≤，则Lxds=∫.（12）设(){}222,,1xyzxyzΩ=++≤，则2zdxdydzΩ=∫∫∫.（13）若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为.(14)设12,,,mXXXL为来自二项分布总体(),Bnp的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差.若2XkS+为2np的无偏估计量，则k=.三、解答题：15~23小题，共94分.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2lnfxyxyyy=++的极值.（16）（本题满分9分）设na为曲线nyx=与()11,2,.....nyxn+==所围成区域的面积，记122111,nnnnSaSa∞∞−====∑∑，求1S与2S的值.（17）（本题满分11分）椭球面1S是椭圆22143xy+=绕x轴旋转而成，圆锥面2S是过点()4,0且与椭圆22143xy+=相切的直线绕x轴旋转而成.（Ⅰ）求1S及2S的方程（Ⅱ）求1S与2S之间的立体体积.（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()fx在[],ab上连续，在(,)ab可导，则存在(),abξ∈，使得()()()()fbfafbaξ′−=−（Ⅱ）证明：若函数()fx在0x=处连续，在()()0,0δδ内可导，且()0limxfxA+→′=，则()0f+′存在，且()0fA+′=.（19）（本题满分10分）计算曲面积分()32222xdydzydzdxzdxdyIxyz++=∑++∫∫Ò，其中∑是曲面222224xyz++=的外侧.（20）（本题满分11分）设111111042A−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，1112ξ−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.（Ⅰ）求满足21Aξξ=的2ξ.231Aξξ=的所有向量2ξ,3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.（21）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122fxxxaxaxaxxxxx=++−+−（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f的规范形为2212yy+，求a的值.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,XYZ分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）求{}10pXZ==；（Ⅱ）求二维随机变量(),XY概率分布.（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为2,0()0,xxexfxλλ−⎧=⎨⎩其他，其中参数(0)λλ未知，1X，2X,…nX是来自总体X的简单随机样本.(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当0x→时，()sinfxxax=−与()()2ln1gxxbx=−等价无穷小，则(A)11,6ab==−.(B)11,6ab==.(C)11,6ab=−=−.(D)11,6ab=−=.【答案】A.【解析】2()sin,()ln(1)fxxaxgxxbx=−=−为等价无穷小，则222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxfxxaxxaxaaxaaxgxxbxxbxbxbx→→→→→−−−==−⋅−−−洛洛230sinlim166xaaxabbaxa→==−=−⋅36ab∴=−故排除(B)、(C).另外201coslim3xaaxbx→−−存在，蕴含了1cos0aax−→()0x→故1.a=排除(D).所以本题选（A）.（2）如图，正方形(){},1,1xyxy≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4kDk=，coskkDIyxdxdy=∫∫，则{}14maxkkI≤≤=(A)1I.(B)2I.(C)3I.(D)4I.【答案】A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.24,DD两区域关于x轴对称，而(,)cos(,)fxyyxfxy−=−=−，即被积函数是关于y的奇函数，所以240II==;13,DD两区域关于y轴对称，而(,)cos()cos(,)fxyyxyxfxy−=−==，即被积函数是关于x的偶函数，所以{}1(,),012cos0xyyxxIyxdxdy≥≤≤=∫∫；-1-111xy1D2D3D4D{}3(,),012cos0xyyxxIyxdxdy≤−≤≤=∫∫.所以正确答案为(A).（3）设函数()yfx=在区间[]1,3−上的图形为则函数()()0xFxftdt=∫的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yfx=的图形可见，其图像与x轴及y轴、0xx=所围的图形的代数面积为所求函数()Fx，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x∈时，()0Fx≤，且单调递减.②[]1,2x∈时，()Fx单调递增.()fxO23x1-2-11()fxO23x1-11()fxO23x1-2-11()fxO23x1-2-111()fx-2O23x-11③[]2,3x∈时，()Fx为常函数.④[]1,0x∈−时，()0Fx≤为线性函数，单调递增.⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D）.（4）设有两个数列{}{},nnab，若lim0nna→∞=，则（A）当1nnb∞=∑收敛时，1nnnab∞=∑收敛.（B）当1nnb∞=∑发散时，1nnnab∞=∑发散.(C)当1nnb∞=∑收敛时，221nnnab∞=∑收敛.(D)当1nnb∞=∑发散时，221nnnab∞=∑发散.【答案】C.【解析】方法一：举反例：（A）取1(1)nnnabn==−（B）取1nnabn==（D）取1nnabn==故答案为（C）.方法二：因为lim0,nna→∞=则由定义可知1,N∃使得1nN时，有1na又因为1nnb∞=∑收敛，可得lim0,nnb→∞=则由定义可知2,N∃使得2nN时，有1nb从而，当12nNN+时，有22nnnabb，则由正项级数的比较判别法可知221nnnab∞=∑收敛.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.(B)120023103⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.(C)111246111246111246⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠.(D)111222111444111666⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠.【答案】A.【解析】因为()()1212,,,,,,nnAηηηααα=LL，则A称为基12,,,nαααL到12,,,nηηηL的过渡矩阵.则由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M满足()12233112311,,,,23Mααααααααα⎛⎞+++=⎜⎟⎝⎠12310111,,22023033ααα⎛⎞⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠所以此题选(A).（6）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB==，则分块矩阵OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠的伴随矩阵为()A**32OBAO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.()B**23OBAO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.()C**32OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.()D**23OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠.【答案】B.【解析】根据CCCE∗=，若111,CCCCCC∗−−∗==分块矩阵OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠的行列式221236OAABBO×=−=×=（），即分块矩阵可逆11116601OBBOAOAOAOBBOBBOAOAOA∗∗−−−∗⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎝⎠1236132OBOBAOAO∗∗∗∗⎛⎞⎜⎟⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠故答案为（B）.（7）设随机变量X的分布函数为()()10.30.72xFxx−⎛⎞=Φ+Φ⎜⎟⎝⎠，其中()xΦ为标准正态分布函数，则EX=(A)0.(B)0.3.(C)0.7.(D)1.【答案】C.【解析】因为()()10.30.72xFxx−⎛⎞=Φ+Φ⎜⎟⎝⎠，所以()()0.710.322xFxx−⎛⎞′′′=Φ+Φ⎜⎟⎝⎠，所以()()10.30.352xEXxFxdxxxdx+∞+∞−∞−∞⎡−⎤⎛⎞′′′==Φ+Φ⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫()10.30.352xxxdxxdx+∞+∞−∞−∞−⎛⎞′′=Φ+Φ⎜⎟⎝⎠∫∫而()0xxdx+∞−∞′Φ=∫，()()11221222xxxdxuuudu+∞+∞−∞−∞−−⎛⎞′′Φ=+Φ=⎜⎟⎝⎠∫∫所以00.3520.7EX=+×=.（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布()0,1N，Y的概率分布为{}{}1012PYPY====，记()ZFz为随机变量ZXY=的分布函数，则函数()ZFz的间断点个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)