三角形全等的判定方法——SSA

1三角形全等的判定方法——SSA——探究SSA三角形全等的判定方法的可行情况通过学习三角形全等，我们可以知道，三角形全等的判定方法只有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”四种，“SSA”的判定方法是不可行的，但是在某些情况下，“SSA”是成立的，下面开始分类讨论。一、直角三角形的SSA全等判定有一个特殊的名字——“HL”定理1、定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2、定理证明HL定理可以用勾股定理证明如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF,∠B=∠E=90°，AC=DF,AB=DE在Rt△ABC中，BC=√，在Rt△DEF中，EF=√，∵AC=DF，AB=DE.∴BC=EF在△ABC与△DEF中∵{∴△ABC≌△DEF（SSS）这样HL定理成立了，我们在后续证明中需要运用到HL定理。ABCDEF2那么，当两个三角形都为锐角三角形时，SSA成立吗？锐角三角形有三种情况，但三种情况都是相同的，所以在这里只选择一种证明。二、锐角三角形如图，已知锐角△ABC与锐角三角形DEF中，∠A=∠D，AB=DE,BC=EF证明△ABC≌△DEF作AG⊥BC,EH⊥DF∵AG⊥BC,EH⊥DF∴∠AGB=∠EHD=90°在△ABG与△DEH中∵{∠∠∠∠∴△ABG≌△DEH（AAS）∴BG=EH（全等三角形对应边相等）在Rt△BGC与Rt△EHF中BC=EFBG=EH∴△BGC≌△EHF(HL)∴∠C=∠F（全等三角形对应角相等）在△ABC与△DEF中∵{∠∠∠∠∴△ABC≌△DEF（AAS）ABCDEFGH∵3通过上述证明，我们可以知道，在两三角形都为锐角三角形的情况下，SSA成立。那么问题来了，在直角、锐角三角形中都成立的SSA证明方法在钝角三角形中会不会成立呢？因为钝角三角形有三条高，且位置各不相同，所以需要分类讨论。三、钝角三角形（情形1.1）如图，已知△ABC与△DEF,∠C=∠F,AC=DF,AB=DE证明△ABC≌△DEF作AG⊥GC,DH⊥HF∵AG⊥GC,DH⊥HF∴∠AGC=∠DHF=90°在△AGC与△DHF中∵{∠∠∠∠∴△AGC≌△DHF（AAS）∴AG=DH（全等三角形对应边相等）在Rt△AGB与Rt△DHE中∵{∴△AGB≌△DHE（HL）∴∠ABG=∠DEH（全等三角形对应角相等）∴180°-∠ABG=180°-∠DEH即∠ABC=∠DEF在△ABC与△DEF中∵{∠∠∠∠∴△ABC≌△DEF（AAS）ACBGDFEH4情形1.2如图，已知△ABC与△DEF,∠ABC=∠DEF,AC=DF,AB=DE证明△ABC≌△DEF作AG⊥GC,DH⊥HF∵∠ABC=∠DEF∴180°-∠ABC=180°-∠DEF即∠ABG=∠DEH∵AG⊥GC,DH⊥HF∴∠AGB=∠DHE=90°在△AGB与△DHE中∵{∠∠∠∠∴△AGB≌△DHE（AAS）∴AG=DH（全等三角形对应边相等）在Rt△AGC与Rt△DHF中∵{∴△AGC≌△DHF（HL）∴∠C=∠F（全等三角形对应角相等）在△ABC与△DEF中∵{∠∠∠∠∴△ABC≌△DEF（AAS）5情况2.1如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EG，AB=EF，∠C=∠G证明△ABC≌△EFG作AD⊥EH，EH⊥FG∵AD⊥EH，EH⊥FG∴∠ADC=∠EHG=90°在△ADC与△EHG中∵{∠∠∠∠∴△ADC≌△EHG（AAS）∴AD=EH（全等三角形对应边相等）∵AD⊥EH，EH⊥FG∴△ABD与△EFH均为Rt三角形在Rt△ABD与Rt△EFH中∵{∴Rt△ABD≌△EFH（HL）∴∠B=∠F（全等三角形对应角相等）在△ABC与△EFG中∵{∠∠∠∠ABCDEFGH6∴△ABC≌△EFG（AAS）情形2.2如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EG，AB=EF，∠B=∠F证明△ABC≌△EFG作AD⊥EH，EH⊥FG∵AD⊥EH，EH⊥FG∴∠ADC=∠EHG=90°在△ADB与△EHF中∵{∠∠∠∠∴△ADB≌△EHF（AAS）∴AD=EH（全等三角形对应边相等）∵AD⊥EH，EH⊥FG∴△ADC与△EHG均为Rt三角形在Rt△ADC与Rt△EHG中∵{∴Rt△ADC≌△EHG（HL）∴∠C=∠G（全等三角形对应角相等）在△ABC与△EFG中∵{∠∠∠∠∴△ABC≌△EFG（AAS）7情形3.1如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EG，AB=EF，∠B=∠F证明△ABC≌△EFG作AD⊥EH，EH⊥FG∵AD⊥EH，EH⊥FG∴∠ADC=∠EHG=90°在△ADB与△EHF中∵{∠∠∠∠∴△ADB≌△EHF（AAS）∴AD=EH（全等三角形对应边相等）∵AD⊥EH，EH⊥FG∴△ADC与△EHG均为Rt三角形在Rt△ADC与Rt△EHG中∵{∴Rt△ADC≌△EHG（HL）∴∠C=∠G（全等三角形对应角相等）∴180°-∠C=180°-∠G即∠ACB=∠EGF在△ABC与△EFG中ABCDEFGH8∵{∠∠∠∠∴△ABC≌△EFG（AAS）情形3.2如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EG，AB=EF，∠ACB=∠EGF证明△ABC≌△EFG作AD⊥EH，EH⊥FG∵∠ACB=∠EGF∴180°-∠ACB=180°-∠EGF即∠ACD=∠EGH∵AG⊥GC,DH⊥HF∴∠ADC=∠EHG=90°在△ACD与△EGH中∵{∠∠∠∠∴△AGB≌△DHE（AAS）在△ACD与△EGH中∵{∠∠∠∠∴△ADC≌△EHG（AAS）∴AD=EH（全等三角形对应边相等）∵AD⊥EH，EH⊥FG∴△ADC与△EHG均为Rt三角形在Rt△ADC与Rt△EHG中∵{∴Rt△ADB≌△EHF（HL）∴∠C=∠G（全等三角形对应角相等）在△ABC与△EFG中9∵{∠∠∠∠∴△ABC≌△EFG（AAS）这样一来，SSA在钝角三角形中也成立了。综上所述：当两个三角形都是同一种类型的三角形时SSA成立。但是，这并不代表着在证明三角形全等时都可以使用SSA证明方法。注意上述证明中，两个三角形都是同一种类型的三角形，要么都是锐角三角形，要么都是直角三角形，要么都是钝角三角形，没有第四种情况。所以，当题目没有明确指出需要证明的两个三角形是同一种类型的三角形时，SSA的证明方法是不可以使用的。