自动控制原理第八章课件

8-1非线性控制系统概述8-2常见非线性特性及其对系统的影响8-3相平面法8-4描述函数法第八章非线性控制系统分析在前面各章中，我们讨论了线性系统各方面的问题。但是理想的线性系统是不存在的。实际的物理系统由于其组成元件在不同程度上具有非线性特性，因此严格地讲都是非线性系统。当系统的非线性程度不严重时，在某一范围内或某些条件下可以视为线性系统，采用线性方法进行研究是有实际意义的。但是如果系统的非线性程度比较严重，采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须对非线性系统进行专门的探讨。非线性系统的形式和种类繁多，在构成控制系统的环节中，有一个或一个以上的环节具有非线性特性时，这种控制系统就属于非线性控制系统。本章主要内容：介绍非线性系统的基本概念、常见的一些非线性环节的特点及其对系统的影响；阐述如何利用相平面法和描述函数法对非线性系统进行分析。本章重点：要求正确理解非线性系统与线性系统的差异，重点掌握利用描述函数法对非线性系统进行分析，了解非线性系统的特点。实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。这样可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。一、系统中的典型非线性特性在实际控制系统中所遇到的非线性特性是各式各样的，最常见的非线性特性有死区特性、饱和特性、间隙特性、继电器特性等。8-1非线性控制系统概述1．死区（不灵敏区）特性死区特性常见于测量元件、执行机构中，其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时，才有输出信号。的区域叫做不灵敏区或死区。控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，尤其是测量元件死区的影响更为显著。摩擦死区会造成系统低速运动的不均匀，导致随动系统不能准确地跟踪目标。axa2．饱和特性饱和特性也是一种常见的非线性，在铁磁元件及各种放大器中都可遇到，其特点是，只能在一定的输入范围内保持输出和输入之间的线性关系；当输入超出该范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持为一个常值。的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。饱和特性将使系统在大信号作用下的等效放大系数减小，因而降低稳态精度，但对动态响应的平稳性有利。有时对有些系统中还会人为引入饱和非线性特性以限制过载。axa在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和特性，如图所示。例如，电枢电压控制的直流电动机的控制特性就具有这种特性，死区是由摩擦力矩和负载力矩造成的，而饱和是由于磁性材料的非线性所致。3．回环（间隙）特性传动机构的间隙也是一种很常见的非线性特性。在齿轮传动中，由于间隙的存在，当主动轮方向改变时，从动轮保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向。间隙非线性如图所示。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性，又称磁滞特性。间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳态误差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。4．继电器特性由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，因此吸合与释放电流是不相同的，其特性中包含了死区、回环和饱和特性。实际继电器的特性如图所示。当m=1时，可得到具有三位置的理想继电器特性如图所示。在控制系统中，可利用继电控制实现快速跟踪。二、非线性系统的特征描述线性系统运动状态的数学模型是线性微分方程，其重要特征是可以应用叠加原理。描述非线性系统运动状态的数学模型是非线性微分方程，不能应用叠加原理。1．稳定性线性系统若稳定，则它无论受到多大的扰动，扰动消失后系统一定会回到唯一的平衡点(原点)。非线性系统的平衡点可能不止一个，因此不存在系统是否稳定的笼统概念，一个非线性系统在某些平衡状态可能是稳定的，在另外一些平衡状态却可能是不稳定的。在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。2．时域响应线性系统的时域响应曲线形状与输入信号的大小及初始条件无关。非线性系统的时域响应曲线形状与输入信号的大小及初始条件有直接关系。3．自激振荡对于线性系统而言，只有两种基本的运动形式即发散和收敛。只有当系统处于稳定的临界状态时，才会出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久的。在非线性系统中，除了发散和收敛两种运动形式外，还可以在无外界作用的情况下，产生固定振幅和频率的稳定的周期运动，称之为自激振荡(自持振荡)，简称自振。在有的非线性系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自振是非线性系统特有的运动现象，是非线性控制理论研究的重要问题。4．对正弦输入信号的响应在线性系统中，当输入是正弦信号时，系统的稳态输出是相同频率的正弦信号。系统的稳态输出和输入仅在幅值和相角上不相同。利用这一特性，可以引入频率特性的概念来描述系统的动态特性。非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出除了包含与输入频率相同的信号外，还可能有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。因此稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，其周期与输入信号相同，有时还会出现跳跃谐振和多值响应。三、非线性系统的分析与设计方法目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。虽然有一些针对特定非线性问题的系统分析、设计方法，但其适用范围有限。目前工程上广泛应用的分析设计非线性控制系统的方法有描述函数法和相平面分析法。1．相平面法非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。相平面上的相轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳定性和系统的时间响应特性。2．描述函数法描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线性系统中的推广。3．数值解法用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析设计复杂非线性系统的有效方法。随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手段。相平面法是庞加莱(Poincare)在1885年首先提出来的，是一种在时域中求解一阶和二阶微分方程的图解法。它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。相平面法可以用来分析系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。相平面法一般适用于一阶、二阶非线性系统的分析。8-3相平面法一、相平面的基本概念设一个二阶系统的微分方程为其中是和的线性或非线性函数。系统的运动可以用解析解和描述。),(xxfx),(xxfxx)(tx)(txxx相平面和相轨迹曲线构成相平面图。相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程。用相平面图分析系统性能的方法称之为相平面法。明确几点：1．状态变量（相变量）只有两个，即和；2．以和为坐标轴的平面即为相平面；3．状态点（相点）为系统在某一时刻相平面的一点；4．状态点随时间变化在相平面上所描绘出的轨迹即为相轨迹。xxxx二、相轨迹的绘制方法1．解析法①消去参变量t由方程解出，通过求导得到，在和的表达式中消去参变量t，就得到-的解析关系。例（M为常量）初始条件为解消去参变量t，得到-的解析关系相轨迹方程),(xxfx)(tx)(tx)(tx)(txxxMx0)0(,)0(0xxxMtx0221xMtxxx)(202xxMx②直接积分因为因此若该式可分解为：则由直接积分得到-的解析关系。上式中和为初始条件。dtxdxdtdxdxxddxxdx),(xxfdxxdxxdxxhxdxg)()(dxxhxdxgxxxx)()(00xx0x0x例解得到c为积分常数由初始条件决定。解析法适用于简单的二阶系统，但一般来说由微分方程直接求相轨迹的解析表达式是比较困难的，尤其是一些非线性二阶系统有时甚至求不出相轨迹的解析表达式，因此解析法局限性比较大，实际中通常采用下面将介绍的“等倾线法”来绘制系统相平面图。0xxAxAdxxdxx1dxAxd1xAAcx12．等倾线法等倾斜线法是一种通过图解方法求相轨迹的方法。由可得出式中，表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为常数，则上式可改写成上式为等倾线方程。相平面上满足上式各点的相轨迹的斜率都等于。若将这些点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾线。),(xxfdxxdxxxxxfdxxd),(dxxdxxxf),(几点说明：①等倾线是相轨迹等斜率点的连线。②等倾线上所绘的短线段表示相轨迹在该点斜率的方向，该方向的斜率值由决定，即③等倾线上所绘的短线段均平行，但它们不一定与等倾线垂直，而且短线段长度是无意义的。④等倾线本身有自己的斜率，其斜率与有关，但并非，形状由系统决定。,2211arctgarctg绘制相轨迹的步骤：①根据等倾线方程取为不同值，在相平面上做一簇等倾线；②根据初始条件确定相轨迹的起始点A；③从初始点A出发，按照A点所处的等倾线，即知A点相轨迹的斜率为，于是自A点延伸短线段与相邻的一条等倾线相交于B点，线段AB即为所求的一段相轨迹，以此类推，如此继续绘制下去，最后将折线光滑处理，即为相轨迹。ii1i例若已知系统，试用等倾线法绘制系统的相轨迹。解在作好等倾线的相平面图上，从初始点出发顺时针将各小线段光滑的连接起来，得到一条相轨迹。0xxx0xxdxxdxxxxdxxd即dxxd令xxx则xx11等倾线方程利用等倾线绘制相轨迹要注意以下几点：①轴与轴的比例尺应当一致。②在相平面的上半平面中，相轨迹的走向应沿着x增加的方向由左向右；同理下半相平面，故相轨迹的走向应沿着x减小的方向由右向左。③当相轨迹穿越x轴时，与x轴交点处有，因此，相轨迹总是以方向通过x轴的（相轨迹与轴垂直相交）。④注意提高作图的精度。xx0x0x0xxxxfdxxd),(90三、线性系统的相轨迹描述二阶线性系统自由运动的微分方程为二阶线性系统的微分方程为得到二阶线性系统的等倾线方程二阶线性系统的等倾线是通过坐标原点的直线。022cccnncccdccdnn22dccd令cccnn22nncc22即二阶系统特征方程为其特征根为1．当时系统特征根为一对具有负实部的共轭复数根，系统处于欠阻尼状态。其零输入响应为衰减振荡形式，收敛到零。对应的相轨迹是一簇向心螺旋线，收敛于相平面原点，如图所示。0222nnss122,1nns102．当时系统特征根为一对具有正实部的共轭复数根，系统处于负阻尼状态。系统的零输入响应是振荡发散形式。对应的相轨迹是发散的离心螺旋线，最终发散到无穷，如图所示。013．当时系统特征根为两个不相等的负实根，系统处于过阻尼状态。其零输入响应呈指数衰减状态。对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线，如图所示。在相平面上有两条特殊的相轨迹，这两条相轨迹是等倾线与相应的值短线段相重合，不同初始条件的相轨迹最终将沿着其中一条特殊的等倾线趋于原点，因此它们是相轨迹的渐近线。14．当时系统特征根为两个不相等的正实根，系统处于负阻尼状态。系统的零输入响应为非周期发散形式。对应的相轨迹是由原点出发的发散的抛物线簇，如图所示。5．当时系统特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状态。10系统微分方程为相轨迹方程为式中由相轨迹方程可知，相轨迹是一簇同心椭圆，如图所示。每个椭圆对应一定频率下的等幅振荡过程