相似三角形与圆综合

姓名学生姓名填写时间学科数学年级初三教材版本人教版阶段第（3）周观察期：□维护期：□课题名称相似三角形提升巩固课时计划第（）课时共（）课时上课时间教学目标1、训练学生相似三角形判定定理与性质的灵活应用2、能运用相似三角形的性质解决一些实际问题.教学重点相似三角形判定定理与性质的灵活应用教学难点相似三角形判定定理与性质的灵活应用教学过程例1、已知：如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE.求证：（1）︵AB=︵AF；（2）AH·BC=2AB·BE.例2、如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E，求证：(1)AD=AE；(2)AB·AE=AC·DB．例3、AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D．第一部分：例题分析(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．例4、△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：(1)BD平分∠CBE；(2)AB·BF＝AF·DC．例3、⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF＝FG．1．如图，AB是⊙O直径，ED⊥AB于D，交⊙O于G，EA交⊙O于C，CB交ED于F，求证：DG2＝DE•DF第二部分：当堂练习2．如图，弦EF⊥直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MA•MC＝MB•MDDCBAOMNEH3．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．(1)若PC=PF，求证：AB⊥ED；(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？4．如图(1)，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，则有结论：AB·AC=AE·AD成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？ABCPEDHFO5．如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF．(1)求证：△AEF∽△FED；(2)若AD=8，DE=4，求EF的长．6．如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．(1)求证：PA是⊙O的切线．(2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的长．7．已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．8．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长．DCBAOEF9．已知：如图，在RtABC△中，90ACB，4AC，43BC，以AC为直径的O交AB于点D，点E是BC的中点，连结OD，OB、DE交于点F．(1)求证：DE是O的切线；(2)求EF：FD的值．ABCDEFO10．如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点EG，是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．(1)求证：BFEF；(2)求证：PA是O的切线；(3)若FGBF，且O的半径长为32，求BD和FG的长度．4．答：．连接BE，证△ABE∽△ADC图(2)同理可证，结论仍成立；5．答：．(1)连接EC，可证∠DFE=∠DCE，又∠DCE=∠BAE=∠CAE，从而△AEF∽△FED；(2)EF=43；6．答：．(1)作直径AC'，连接BC'，证∠PAC'=90即可；(2)△ABP∽△CAP，理由略；(3)PA=41010．(1)证明：BC∵是O的直径，BE是O的切线，EBBC∴．又ADBC∵，ADBE∴∥．易证BFCDGC△∽△，FECGAC△∽△．BFCFEFCFDGCGAGCG∴，．BFEFDGAG∴．G∵是AD的中点，DGAG∴．BFEF∴．(2)证明：连结AOAB，．BC∵是O的直径，90BAC∴°．在RtBAE△中，由(1)，知F是斜边BE的中点，AFFBEF∴．FBAFAB∴．又OAOB∵，ABOBAO∴．BE∵是O的切线，90EBO∴°．90EBOFBAABOFABBAOFAO∵°，PA∴是O的切线．(3)解：过点F作FHAD于点H．BDADFHAD∵，，FHBC∴∥．由(1)，知FBABAF，BFAF∴．由已知，有BFFG，AFFG∴，即AFG△是等腰三角形．FHAD∵，AHGH∴．DGAG∵，2DGHG∴，即12HGDG．90FHBDBFADFBD∵∥，∥，°，∴四边形BDHF是矩形，BDFH．FHBC∵∥，易证HFGDCG△∽△．ODGCAEFBPODGCAEFBPHFHFGHGCDCGDG∴，即12BDFGHGCDCGDG．O∵的半径长为32，62BC∴．1262BDBDBDCDBCBDBD∴．解得22BD．22BDFH∴．12FGHGCGDG∵，12FGCG∴．3CFFG∴．在RtFBC△中，3CFFG∵，BFFG，由勾股定理，得222CFBFBC．222(3)(62)FGFG∴．解得3FG(负值舍去)．3FG∴．［或取CG的中点H，连结DH，则2CGHG．易证AFCDHC△≌△，FGHG∴，故2CGFG，3CFFG．由GDFB∥，易知CDGCBF△∽△，2233CDCGFGCBCFFG∴．由622362BD，解得22BD．又在RtCFB△中，由勾股定理，得222(3)(62)FGFG，3FG∴(舍去负值)．］作业1．已知⊙O的半径为35厘米，⊙O的半径为5厘米．⊙O与⊙O相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6厘米（圆心O、O在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距OO的长为（）（A）2厘米（B）10厘米（C）2厘米或10厘米（D）4厘米2．如图，两个等圆⊙O和⊙O的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于（）（A）30（B）45（C）60（D）903．如图，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）（A）1（B）2（C）1+4（D）2－44．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（）（A）18π（B）9π（C）6π（D）3π5、如图△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）6．已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CDE︰S△ABC＝1︰4，DE＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．7．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．8．如图，在RtABC△中，斜边1230BCC，°，D为BC的中点，ABD△的外接圆O⊙与AC交于F点，过A作O⊙的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AEDE⊥；（2）计算：ACAF·的值．AEFODBC9．如图，在直角梯形ABCD中，ABCD∥，90B，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．（1）说明点D在△ABE的外接圆上；（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．10、如图，在RtABC△中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．ABCDERPHQ课后记本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□学生上次的作业完成情况：数量%完成质量分存在问题备注班主任签字家长或学生签字教研主任审批答案1．B2．A3．C4．C5.C6．解：∵∠CDE＝∠CBA，∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△ABC．∴2ABDESSABCCDE∴ABDE＝ABCCDESS＝41＝21，即215AB，解得AB＝10（cm），作OM⊥FG，垂足为M，则FM＝21FG＝21×8＝4（cm），连结OF，∵OA＝21AB＝21×10＝5（cm）．∴OF＝OA＝5（cm）．在Rt△OMF中，由勾股定理，得OM＝22FMOF＝2245＝3（cm）．∴梯形AFGB的面积＝2FGAB·OM＝2810×3＝27（cm2）．7．解：如图取MN的中点E，连结OE，∴OE⊥MN，EN＝21MN＝21a．在四边形EOCD中，∵CO⊥DE，OE⊥DE，DE∥CO，∴四边形EOCD为矩形．∴OE＝CD，在Rt△NOE中，NO2－OE2＝EN2＝22a．∴S阴影＝21π（NO2－OE2）＝21π·22a＝28πa．8.解：（1）9、证法一：∵∠B=90°，∴AE是△ABE外接圆的直径．取AE的中点O，则O为圆心，连接OB、OD．∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO，∴△AOB≌△AOD．∴OD=OB．∴点D在△ABE的外接圆上．证法二：∵∠B=90°，∴AE是△ABE外接圆的直径．∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE．∴∠ADE=∠B=90°．取AE的中点O，则O为圆心，连接OD，则OD=21AE．∴点D在△ABE的外接圆上．（2）证法一：直线CD与△ABE的外接圆相切．理由：∵AB∥CD，∠B=90°．∴∠C=90°．∴∠CED+∠CDE=90°．又∵OE=OD，∴∠ODE=∠OED．又∠AED=∠CED，∴∠ODE=∠DEC．∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．∴CD与△ABE的外接圆相切．证法二：直线CD与△ABE的外接圆相切．理由：∵AB∥CD，∠B=90°．∴∠C=90°．又∵OE=OD，∴∠ODE=∠OED．又∠AED=∠CED，∴∠ODE=∠DEC．∴OD∥BC．∴∠ODC=900．∴CD与△ABE的外接圆相切解：（1）RtA，6AB，8AC，10BC．点D为AB中点，132BDAB．90DHBA，BB．BHDBAC△∽△，DHBDACBC，3128105BDDHACBC．（2）QRAB∥，90QRCA．CC，RQCABC△∽△，RQQCABBC，10610yx，即y关于x的函数关系式为：365yx．（3）存在，分三种情况：①当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM．ABCDERPHQM211290，290C，1C．84cos1cos105C，45QMQP，1364251255x，185x．②当PQRQ时，312655x，6x．③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，1