复变函数课件-第三章：复变函数的积分

DepartmentofMathematicsJinanUniv.2009第三章复变函数的积分第一节复积分的概念及其简单性质第二节柯西积分定理第三节柯西积分及其推论DepartmentofMathematics第一节复积分的概念及其简单性质1、复变函数积分的的定义2、积分的计算问题3、基本性质第三章复变函数的积分同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法．在解决实际问题中也是有力的工具．本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西－古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式1、复变函数积分的定义设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从到Z的次序排列的。0z如果是到的弧上任意一点，那么考虑和式Zzzzzznn,...,,,1210),...,2,1,0(nkzk0zk1kzkz))((111knkkkzzf复变函数的积分0z1z1kzkkzZzn1nzC复变函数的积分分实部与虚部，有或者)]())][(,(),([1111kknkkkkkkkyyixxivu在这里分别表示的实部与虚部。,))(,())(,([))(,())(,(111111111111nkkkkknkkkkknkkkkknkkkkkyyuxxviyyvxxukkkkyx、及、kkz与复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：0}1,...,2,1,0|0)()(|max{|21211nkyyxxzzkkkkkk这时，我们说原和式有极限,d),(,d),(,d),(,d),(CCCCyyxuxyxvyyxvxyxu,d),(d),(d),(d),(yyxuxyxviyyxvxyxuCC复变函数的积分这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为.d)(Czzf因此，我们有,d),(d),(d),(d),(d)(yyxuxyxviyyxvxyxuzzfCCC复变函数的积分如果C是简单光滑曲线：，并且，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成因此，我们有))((),(0TtttytxZzTt及相应于及00Ttttu0d)('),(ttitivuzzfTtCd)](')(')][,(),([d)(0复变函数的积分我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有ttztzfzzfTtCd)('))((d)(0当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。2复变函数积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）是一个复常数；其中,d)(d)(CCzzfzzf;d)(d)(d)]()([CCCzzgzzfzzgzf（3）其中曲线C是由光滑的曲线连接而成；（4）nCCCCzzfzzfzzfzzfd)(...d)(d)(d)(21nCCC,...,,21,d)(d)(CCzzfzzf积分是在相反的方向上取的。复变函数积分的性质：如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有，MLzzfC|d)(|证明：因为两边取极限即可得结论。MLzzMzzfknkkknkkk|||))((|111111例1例1、设C是连接及Z两点的简单曲线，那么如果是C闭曲线，即，那么积分都是零。0z0dzZzC).(21d202zZzzC0zZ)10(43:ttytxOAzdzC计算例210)43()43(dtitizdzC2102)43(21)43(itdti解CCidydxiyxzdz))((,,无关右边两个积分都与路径容易验证2)43(21)(:idzzfCOAC，其上积分的曲线连接CCxdyydxiydyxdx又解Aoxy.,,)(010为整数为半径的正向圆周为中心表示以这里计算nrzCzzdzCn例320:0irezzC解oxyirezz0z0zrC00)sin(cos02202020ndninrinididerininnCnzzdz10)(20)1(1derirenini0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn.,0应记住以后经常用到,这个结果无关及这个结果与半径zroxyiz101C2C3C)()2)13201见图的值计算CCCOzCCdzzC例410)1(:)11ttizC解12)1)((1010tdtdtiittdzzC101:10:)232titzCttzC32CCCdzzdzzdzziiidtittdt1)21(21)1(1010.1;,1,,2121向的下半圆周，逆时针方是单位圆顺时针方向的上半圆周是单位圆其中的值计算zCzCdzzdzzCC.0,:)11iezC解:idtidieedzziiC001.0,:)22iezCidtidieedzziiC002例4本节结束谢谢！第二节柯西积分定理3.2.1Cauchy积分定理3.2.2Cauchy定理的推广3.2.3复周线情形的Cauchy定理3.2.4小结与思考3.2.4不定积分引言:12CCC目的研究复积分与路径的无关性:由例3.1受到的启发积分与路径无关与函数沿着围线的积分值为零有何关系首先:若复积分与路径无关,则对任意围线C,ab在其上任取两点按a(起点),b(终点)CC2C1将曲线C分成两部分因为积分与路径无关,所以:12()()CCfzdzfzdz12()()()0CCCfzdzfzdzfzdz结论1:若函数f(z)的积分与路径无关,:()0CCfzdz周线反之:若对任意围线C,f(z)沿着C的积分为零,若复积分与路径无关,则对任意两条以a为起点,b为终点的曲线C1,C2,令:C2C1ab12CCC则C是周线，从而：12()0()()0CCCfzdzfzdzfzdz12()()CCfzdzfzdz结论2::()0CCfzdz周线函数f(z)的积分与路径无关,观察上节例3.1()1,()=0Cfzzfzdz或在复平面内处处解析观察上节例3.2,100zzn时为被积函数当cizzz.02d10此时0,zC它在以为中心的圆周的内部不是处处解析的目的研究复积分与路径的无关性:转换为研究函数沿着周线的积分为零:0,zC虽然在除去的的内部函数处处解析但此区域已不是单连通域.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.受此启发,Cahchy与1825年给出如下定理1()(),3.3-0,(),()d0.2()(),cfzDfzDDfzCDCADfzz()定理设为单连通域函数在内满足:对内的任何一条周线:()有1900,法国数学家Goursat给出如下定理:如果f(z)A(D)f'(z)A(D)f'(z)C(D),这样就得到了定理3.3D3.3.单连通区域的Cauchy积分定理定理3.3柯西－古萨基本定理C定理中的C可以不是简单曲线.此定理常称为柯西积分定理.柯西介绍古萨介绍,()(),()d0.cDfzADDCfzz设为单连通域如果函数对内的任何一条周线有:不必是简单闭曲线,()()(,)0d.cDfzADDCfzz设为单连通域如果函数对内的任何一条闭曲线有:推论3.4柯西定理0110,,()()(),()zzzDfzfzADfzDazdzbD设为单连通域如果积分的值,不依赖于内连函数在内的积分与路径无关即对任给的接起点与终点的曲线的形状推论3.5柯西定理3.2.2Cauchy定理的推广与定理3.3等价的形式是:如果周线C的内部是区域,(I(C)=D)(),fzDDC函数在闭区域上解析()d0.cfzz定理3.9如果C是周线,I(C)=D是区域(1)()(),fzAD()d0.cfzz(2)()()fzCD定理3.3例1解1.d321zzz计算积分,1321内解析在函数zz根据柯西定理,有1.0d321zzz例2.),1(0d)(任意闭曲线是其中证明Cnzzcn证,)1(为正整数时当n,)(平面上解析在zzn由柯西－古萨定理,.0d)(cnzz,1)2(时为负整数但不等于当n,)(平面上解析的整个在除点zzn,:点不包围若情况一C由柯西－古萨定理,;0d)(cnzz,:点包围若情况二C由上节例4可知,.0d)(cnzz,)(围成的区域内解析在Czn例3.d)1(1212izzzz计算积分解,11211)1(12izizzzz,2111上解析都在和因为izizz根据柯西－古萨定理得212d)1(1izzzz21d1211211izzizizz212121d121d121d1izizizzizzizzz021d121izzizi221.i3.3.4复周线情形的Cauchy定理2.d11,zzz计算实例,12在内的闭曲线是包含因为zz根据本章第一节例4可知,2.2d11zizz由此希望将基本定理推广到多连域中.1.闭路变形原理,)(在多连通域内解析设函数zf),(1正向为逆时针方向单闭曲线内的任意两条简为及DCC.11DDCC全含于为边界的区域及DC1C1DAABB,BBAA和作两段不相交的弧段︵︵DC1C1DAABBEEFF,AAEBAEB显然曲线BFABFAA,,,,,FFEE添加字符为了讨论方便.均为封闭曲线,D因为它们的内部全含于,0d)(AAEBAEBzzf故.0d)(BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB︵︵︵︵,BFABBBFAAABFABFAA︵︵︵︵AAEBAEBzzfd)(由,0d)(BFABFAAzzf得DC1C1DAABBEEFFCzzfd)(1d)(CzzfAAzzfd)(︵AAzzfd)(︵,0d)(BBzzf︵BBzzfd)(︵,0d)(d)(1CCzzfzzf即.d)(d)(1CCzzfzzf或DC1C1DAABBEEFF,1成一条复合闭路看及闭曲线如果我们把这两条简单CC:的正方向为,按逆时针进行外面的闭曲线C,1按顺时针进行内部的闭曲线C),,(的左手边内部总在的的正向进行时即沿.0)(dzzf那末解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变