“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)

“PA+k·PB”型的最值问题---孙洋清【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。图1-1-1图1-1-2图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。【模型初探】（二）点P在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？图2-1-1图2-1-2图2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。动态展示：见GIF格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。ABOPOABPCOABPC“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPkOB；第四步：在OB上取点C，使得OCOPOPOB；第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．【模型类比】①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB∽△CAP推出2PAABAC即：半径的平方=原有线段构造线段【典型例题】1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,则AM+12BM的最小值为.分析：如何将12BM转化为其他线段呢？即本题k值为12，必须转化为某一角的正弦值啊，即转化为30°角的正弦值。思考到这里，不难发现，只要作MN垂直于BC，则MN=12BM，即AM+12BM最小转化为AM+MN最小，本题得解。详解：如图，作AN⊥于BC垂足为N,∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°，∴∠DBC=30°，即sin∠DBC=12=MNBM，∴12BM=MN，∴AM+12BM=AM+MN，即AM+12BM的最小值为AN.在RT△ABN中，AN=AB·sin∠ABC=36332.∴AM+12BM的最小值为33.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？答案：（1）63（2）63本题也可用“费马点”模型解决哦！！！！----详见：本公众号前文！DABCMMNBADC2．(阿氏圆问题)如图，点A、B在☉O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在☉O上，则2PCPD的最小值为__________．分析：如何将2PC转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即2倍关系就出现了。套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段构造线段详解：∴连接OP,在射线OA上截取AE=6.即：2OPOCOE∴△OPC∽△OEP∴2PEPC∴2PCPDPEPD,即P、D、E三点共线最小.在RT△OED中，2216144410DEODOE即2PCPD的最小值为410.变式思考：(1)本题如要求“1PCPD2”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“3PCPD2”的最小值你会求吗？答案：（1）210（2）310BCOADPEPEBCOAD【变式训练】(胡不归问题)1.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒.答案：724，4232.如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为.答案：62本题也可用“费马点”模型解决哦！！！【中考真题】(胡不归问题)1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB21的最小值为。2.（2014.成都）如图，已知抛物线83(2)(4)9yxx与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线34333yx与抛物线的另一个交点为D（-5，33）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少？答案：334，2,23课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。要好好专研哦！！！(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)1.（1）【问题提出】：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋12BP的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CDCP1CPCB2，又∵∠PCD＝∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴PD1BP2,∴PD＝12BP,∴AP＋12BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋12BP的最小值为___________．（2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP＋BP的最小值为___________．（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为___________．答案：37，2373，13.2.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求1PMPN2的最小值为__________．3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值为__________．答案：5，322.【中考真题】(阿氏圆问题)（2017·甘肃兰州）如图，抛物线2yxbxc与直线AB交于4,4A，0,4B两点，直线1:62ACyx交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G.(1)求抛物线2yxbxc的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以,,,AEFH为顶点的四边形是矩形？求出此时点,EH的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E⊙上一动点，求12AMCM的最小值.答案：(1)y=﹣x2﹣2x+4；(2)G（﹣2，4）；(3)①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②552．写在最后：“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于1k或等于21kk)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。更多内容，请微信扫描关注公众号“洋清解题”