正弦余弦定理复习课ppt

知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝12absinC＝12acsinB.3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和________第三边，任意两边之差_______第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式大于小于sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝—cosCtan(A＋B)＝—tanC；sinA＋B2＝cosC2；题型一正、余弦定理的简单应用例1：①在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π3B.π4C.π6D.π12[解析]∵2asinB＝3b，∴2sinAsinB＝3sinB，∵sinB≠0，∴sinA＝32，∵A为锐角，∴A＝π3.[答案]A②△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若B＝2A，a＝1,b＝3,则c＝()A．23B．2C.2D．1[解析]由正弦定理得1sinA＝3sinB，∵B＝2A，∴1sinA＝32sinAcosA，即2sinAcosA＝3sinA，又sinA0，∴cosA＝32，∴A＝π6，B＝π3，C＝π2，∴c＝2.[答案]B③△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.34B.23C.24D.14[解析]∵三边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，又c＝2a，∴b＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝34.[答案]A④△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A.5π6B.2π3C.π3D.π6[解析]依题意及正弦定理得c＝23b，a2＝b2＋3bc＝7b2，cosA＝b2＋c2－a22bc＝6b243b2＝32.又0Aπ，因此A＝π6，[答案]D思维升华在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．例2①在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2＝2a2＋2b2＋ab,则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形题型二判断三角形的形状[解析]∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－12ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－140.则△ABC是钝角三角形．[答案]A②设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定[解析]依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和得sinA＝sin2A，∴sinA＝1，∴A＝π2，选A.[答案]A③在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定④在△ABC中,asinπ2－A＝bsinπ2－B,则△ABC的形状为_____．解析③由sin2A＋sin2Bsin2C，得a2＋b2c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形．得acosA＝bcosB，由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，2A=2B或2A+2B=∴A=B或A+B=2故△ABC为等腰三角形或直角三角形．④[方法规律总结]1.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角．．．．，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，角与角之间的关系主要看有无等角，有无直角或钝角等，还要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边．．．．，通过代数恒等变形(如因式分解、配方等)，求出三条边之间的关系进行判断．边与边之间的关系，主要看是否有等边，是否符合勾股定理等．2．注意：在△ABC中，b2＋c2－a20⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a20⇔A为钝角．题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.思维启迪解析思维升华【例3】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用思维启迪解析思维升华【例3】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.解(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用又0Aπ，故A＝π3.思维启迪解析思维升华【例3】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.思维启迪解析思维升华【例3】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.有关三角形面积问题的求解方法：题型三正弦定理、余弦定理的综合应用(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．思维启迪解析思维升华(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．例4在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.例4在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝π2，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．例5：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解(1)由bsinA＝3acosB，可得sinBsinA＝3sinAcosB，又sinA≠0，可得tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA，可得c＝2a，在△ABC中，9＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－2a2＝3a2，解得a＝3，所以c＝2a＝23.1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝()．A．60°B．90°C．120°D．150°2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()．A.725B．－725C．±725D.24253．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是()．A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．5．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为________．自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解CAπ/2123452B练出高分A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练练出高分234567891011．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析在△ABC中，ABsinC＝BCsinA，∴2sinC＝2sin45°，∴sinC＝12，又ABBC，∴∠C∠A，故∠C＝30°.AA组专项基础训练练出高分134567891022．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形A解析依题意得sinCsinBcosA，sinCsinBcosA，所以sin(A＋B)sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA0，所以cosBsinA0.又sinA0，于是有cosB0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．A组专项基础训练练出高分124567891033．(2012·湖南)△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A．32B．332C．3＋62D．3＋394解析设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC边上的高为AB·sinB＝3×32＝332.BA组专项基础训练练出高分123567891044．(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且a＞b，则∠B等于()A．π6B．π3C．2π3D．5π6解析由条件得absinBcosC＋cbsinBcosA＝12，依正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝12，∴sin(A＋C)＝12，从而sinB＝12，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝π6.AA组专项基础训练练出高分123467891055．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积等于()A．17B．15C．152D．3解析∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝