谈直线恒过定点的破解之道

谈直线恒过定点的破解之道在近几年各类的模拟考试中，直线恒过定点的问题频频出现，本文通过对一道题目的多种解法，阐释直线恒过定点问题的破解之道。求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。破解之道之一：特殊引路法分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。证明：直线，取，此时直线方程为。①取，此时方程为②联立①②解得点P（3，1）。将点P（3，1）代入直线方程。故直线恒过定点P（3，1）。破解之道之二：换元法分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），因此我们可以将直线的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。证明：，当时，。令。由此可得。即原直线方程可化为。由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。综上，直线恒过定点P（3，1）。破解之道之三：参数分离法分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，并将其分离得0，此时我们令，，则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程0，即P（，）在直线上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。证明：。令，=0，解方程组得令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。所以也满足。进一步得点P（3，1）满足。故直线恒过定点P（3，1）。