直线与圆的方程测试卷(含答案)

单元检测(七)直线和圆的方程(满分:150分时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0垂直,则a的值为()A.2B.-3或1C.2或0D.1或0解析：当a=0时,显然两直线垂直;a≠0时,则1321aaa,得a=2.故选C.答案：C2.集合M={(x,y)|y=21x,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则M∩N等于()A.{(1,0)}B.{y|0≤y≤1}C.{1,0}D.解析：y=21x表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0).答案：A3.菱形ABCD的相对顶点为A(1,-2),C(-2,-3),则对角线BD所在直线的方程是…()A.3x+y+4=0B.3x+y-4=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=0解析：由菱形的几何性质,知直线BD为线段AC的垂直平分线,AC中点O)25,21(在BD上,31ACk,故3BDk,代入点斜式即得所求.答案：A4.若直线1byax经过点M(cosα,sinα),则……()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.11122baD.11122ba解析：直线1byax经过点M(cosα,sinα),我们知道点M在单位圆上,此问题可转化为直线1byax和圆x2+y2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式,有.111111|1|2222baba答案：D5.当圆x2+y2+2x+ky+k2=0的面积最大时,圆心坐标是()A.(0,-1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(-1,1)解析：r2=222431444kkk,∴当k=0时,r2最大,从而圆的面积最大.此时圆心坐标为(-1,0),故选B.答案：B6.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析：由已知,得圆心为C(5,1),半径为2,设过点P作的两条切线的切点分别为M,N,当CP垂直于直线y=x时,l1,l2关于y=x对称,|CP|为圆心到直线y=x的距离,即|CP|=2211|15|,|CM|=2,故∠CPM=30°,∠NPM=60°.答案：C7.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内,若是目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无数个,则a的值等于()A.31B.1C.6D.3解析：将z=ax+y化为斜截式y=-ax+z(a0),则当直线在y轴上截距最大时,z最大.∵最优解有无数个,∴当直线与AC重合时符合题意.又kAC=-1,∴-a=-1,a=1.答案：B8.已知直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,12)内变动时,a的取值范围是()A.(0,1)B.)3,33(C.(33,1)∪(1,3)D.(1,3)解析：结合图象,如右图,其中α=45°-15°=30°,β=45°+15°=60°.需a∈(tan30°,1)∪(1,tan60°),即a∈(33,1)∪(1,3).答案：C9.把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为()A.3或13B.-3或13C.3或-13D.-3或-13解析：直线x-2y+λ=0按a=(-1,-2)平移后的直线为x-2y+λ-3=0,与圆相切,则圆心(-1,2)到直线的距离55|8|d,求得λ=13或3.答案：A10.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称,则不等式组0,0,01ymykxykx表示的平面区域的面积是()A.41B.21C.1D.2解析：由题中条件知k=1,m=-1,易知区域面积为41.答案：A11.两圆sin24,cos23yx与sin3,cos3yx的位置关系是()A.内切B.外切C.相离D.内含解析：两圆化为标准式为(x+3)2+(y-4)2=4和x2+y2=9,圆心C1(-3,4),C2(0,0).两圆圆心距|C1C2|=5=2+3.∴两圆外切.答案：B12.方程29x=k(x-3)+4有两个不同的解时,实数k的取值范围是()A.)247,0(B.(247,+∞)C.(32,31)D.]32,247(解析：设y=29x,其图形为半圆;直线y=k(x-3)+4过定点(3,4),由数形结合可知,当直线y=k(x-3)+4与半圆y=29x有两个交点时,32247k.∴选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x,y满足约束条件,30,03,0xyxyx则z=2x-y的最大值为__________.解析：作出可行域如图所示.当直线z=2x-y过顶点B时,z达到最大,代入得z=9.答案：914.在y轴上截距为1,且与直线2x-3y-7=0的夹角为4的直线方程是_________.解析：由题意知斜率存在,设其为k,则直线方程为y=kx+1.则|321||32|4tankk.解得k=5或51.∴直线方程为y=5x+1或y=151x,即5x-y+1=0或x+5y-5=0.答案：5x-y+1=0或x+5y-5=015.设A(0,3),B(4,5),点P在x轴上,则|PA|+|PB|的最小值是________,此时P点坐标是_______.解析：点A关于x轴的对称点为A′(0,-3),则|A′B|=45为所求最小值.直线A′B与x轴的交点即为P点,求得P(23,0).答案：45(23,0)16.已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:①对任意实数k与θ,直线l和圆M相切;②对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;③对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切;④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切.其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)解析：圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l:kx-y=0的距离1|sincos|1|sincos|22kkkkd1|)sin(1|22kk=|sin(φ+θ)|(其中tanφ=k)≤1=r,即d≤r,故②④正确.答案：②④三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知△ABC的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求:(1)AC边上的高BD所在直线的方程;(2)BC的垂直平分线EF所在直线的方程;(3)AB边的中线的方程.解：(1)易知kAC=-2,∴直线BD的斜率kBD=21.又BD直线过点B(-4,0),代入点斜式易得直线BD的方程为x-2y+4=0.(2)∵kBC=34,∴kEF=43.又线段BC的中点为(25,2),∴EF所在直线的方程为y-2=)25(43x.整理得所求的直线方程为6x+8y-1=0.(3)∵AB的中点为M(0,-3),∴直线CM的方程为1343xy.整理得所求的直线方程为7x+y+3=0(-1≤x≤0).18.(本小题满分12分)已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且截直线l2:x-y=0的弦长为22,求圆C的方程.解：∵圆心C在直线l1:x-3y=0上,∴可设圆心为C(3t,t).又∵圆C与y轴相切,∴圆的半径r=|3t|.∴222||3)2()23(ttt,解得t=±1.∴圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为3.∴所求的圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(本小题满分12分)已知等边△ABC的边AB所在的直线方程为3x+y=0,点C的坐标为(1,3),求边AC、BC所在的直线方程和△ABC的面积.解：由题意,知直线AC、BC与直线AB均成60°角,设它们的斜率为k,则3|313|kk,解得k=0或k=3.故边AC、BC所在的直线方程为y=3,y=3x,如图所示,故边长为2,高为3.∴S△ABC=33221.20.(本小题满分12分)圆C经过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在P点的切线斜率为1,试求圆C的方程.解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将P、Q、R的坐标代入,得.01,2,2FEFkDk∴圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心为)212,22(kk.又∵kCP=-1,∴k=-3.∴圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.21.(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:设点M的坐标为(x,y),∵M为线段AB的中点,∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.而kPA=,2204xkPB=0224y(x≠1),∴11212yx(x≠1).整理,得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法二:设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结PM,∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.而|PM|=22)4()2(yx,|AB|=,)2()2(22yx∴.44)4()2(22222yxyx化简,得x+2y-5=0,即为所求的轨迹方程.解法三:设M的坐标为(x,y),由l1⊥l2,BO⊥OA,知O、A、P、B四点共圆,∴|MO|=|MP|,即点M是线段OP的垂直平分线上的点.∵kOP=20204,线段OP的中点为(1,2),∴y-2=21(x-1),即x+2y-5=0即为所求.22.(本小题满分12分)实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:(1)12ab的值域;(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;(3)a+b-3的值域.解：由题意.02,012,0.0)2(,0)1(,0)0(bababfff即易求A(-1,0)、B(-2,0).由,02,012baba∴C(-3,1).(1)记P(1,2),kPC12abkPA,即12ab∈(41,1).(2)|PC|2=(1+3)2+(2-1)2=17,|PA|2=(1+1)2+(2-0)2=8,|PB|2=(1+2)2+(2-0)2=13.∴(a-1)2+(b-2)2的值域为(8,17).(3)令u=a+b-3,即a+b=u+3.-2u+3-1,即-5u-4.∴a+b-3的值域为(-5,-4).