锐角三角函数知识点总结

1锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。A90B90得由BA4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313不存在cot不存在31330定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)BAcottanBAtancotAAcot1tan(倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cotA(∠A为锐角))90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanBAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincos对边邻边b斜边ACBacA90B90得由BA26、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；(2)俯角：视线在水平线下方的角。(3)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。仰角铅垂线水平线视线视线俯角:ihlhlα3锐角三角函数（1）基础扫描1.求出下图中sinD，sinE的值．2.把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为（）．A．sinA＝sinA′B．sinA＝2sinA′C．2sinA＝sinA′D．不能确定3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB的值是（）A．35B．45C．34D．434.如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．5．计算：sin30°·sin60°+sin45°．能力拓展6．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线上取一点P，连接AP、PB，使sin∠APB=12，则满足条件的点P的个数是（）A1个B2个C3个D不存在7．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinA、sinB．创新学习8.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC等于（）A．23B．55C．105D．1385FED25247CBAlPCBA（第6题图）4锐角三角函数（2）基础扫描1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA=．2．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝34，c＝4，则a＝_______．3．如果a是等腰直角三角形的一个锐角，则cos的值是（）Ａ．12Ｂ．22Ｃ．1Ｄ．24．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若56AC，65AB，则tan∠ACD的值为（）Ａ．5Ｂ．55Ｃ．306Ｄ．66．已知α是锐角，且cosα=34，求sinα、tanα的值．能力拓展7．若α为锐角，试证明：sintancos．8．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a，AC=b（b＞a），若tan∠DCE=12，求ab的值．创新学习9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为CA上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=19，试求cosA与tanA的值．yxP(2,3)OAbaEDCBA（第8题图）CBAD5锐角三角函数（3）基础扫描1．已知sinα12，则锐角α=度．2．若tan1，则2cos=．3．计算tan602sin452cos30的结果是（）A．2B．2C．1D．2313．4．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（）A．25B．26C．27D．28．5．计算：（1）计算：0132sin452007tan30(2)先化简，再求值:2221xxxx+1，其中，tan60x．能力拓展6．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD为10m，眼高AB为1.6m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（）A．（81035）mB．21.6mC．103mD．103835m7．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么CDAB等于（）A．sinαB．COSαC．tanαD．1tanDCBAEDCBA第6题图PDCBAO第7题图6CBA8．如图，⊙O的半径为3，弦AB的长为5．求cosA的值．创新学习9．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB，利用此图求tan22．5°的值．10、如图10，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，12CA，…，则CA1=，5554CAAC11、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°12.如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）()A．aB．a54C．a22D．a2313、如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处．(1)说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间．图10aNMCDAB（第12题）P北BQ7答案或提示1．8895898989sinsin,DE2．A3．B4．证明：由2225625AB，22749BC，2224576CA，得222ABBCCA∴又∠C=90°，∴7sin25BCAAB．5．原式=1323222224．6．B7．证明：作CD⊥AB于D，则CD=AC·sinA∴1122sinABCABCDABACAS8．解：如图，作AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∵AB=AC∴BD=12BC=3∴AD=224ABBD∴4sin5ADABCAB由1122ABCBCADACBES得642455BCADBEAC∴24sin25BEBACAB9．B答案或提示1．132．133．B4．31313，21313，325．A6．解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，∵3cos4ACAB∴设AC=3k，AB=4k（k＞0），则BC=7k．∴77sin,tan43BCAB．7．证明：如图，RtABC中，∠C=90°，设∠A=α，则sin,cosBCACABAB∴sincosBCAC又∵tanBCAC∴sintancos.8．解：如图，∵1tan2DEDCEDC，∴设DE=k，DC=2k（k＞0）则5CEk.又CE是Rt△ABC斜边上的中线∴BE=AE=CE=5k∴(51),BDk∴51tan2BDBCDCD∵ABCD∴tantanABCD∴512ab9．解：在Rt△DBC中，∠C=90°，∠DBC=30°，EDCBACBAbaEDCBACBACBAD8∴3tan3DCDBCBC．∴可设DC=k，BC=3k（k＞0）．在Rt△ABC中，由勾股定理知：222BCCAAB．∴223319kk．整理得2510kk．∴k=1．∴BC=3，CA=4．∴4193cos,tan194AA．答案或提示1．302．123．C4．C5．（1）．原式=12121223（2）原式=221111111xxxxxxxxx．当tan603x时，原式=233143．（3）∠A66°6．A7．B8．解：作OC⊥AB，垂足为C．则1522ACAB．∴5cos6ACAOA．9．解:∵∠C=90°，∠DBC=45°，且AB=DB，∴∠A=∠ADB=12∠DBC=22．5°设DC=1，则BC=1，AB=DB=2∴tanA=12121DCAC，∴tan22．5°=21．OCBA