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北师大版八年级上册数学全册知识点+训练习题第1页共31页第一章《勾股定理》提要:本节内容的重点是勾股定理及其应用.勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据,也是以后学习解直角三角形的主要依据之一,在生产生活实际中用途很大,它不仅在数学中,而且在其他自然科学中也被广泛地应用.本节内容的难点是勾股定理的证明.勾股定理的证明方法有多种,课本是通过构造图形,利用面积相等来证明的,证明思路的获得是我们感到困难的,这里涉及到了解决几何问题的方法之一:割补法值得我们去注意.习题:一、填空题1.填空:(1)一个直角三角形的三边从小到大依次为x,16,20,则x=_______;(2)在△ABC中∠C=90°,AB=10,AC=6,则另一边BC=_____,面积为_____,AB边上的高为_______;(3)若一个矩形的长为5和12,则它的对角线长为_______.2.三角形三边长分别为6、8、10,那么它最短边上的高为______.3.已知一直角三角形两边长分别为3和4,则第三边的长为______.4.若等腰直角三角形斜边长为2,则它的直角边长为_______.5.测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm,12cm,13cm,则这个花坛的面积是________.6.矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图18-1方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=_______cm.7.如图18-2,在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这4个正方形中,与众不同的是_________,不同之处:_________.8.一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距________海里.9.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________.10.如图18-3,△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=6,BC=3,则BD的长为()A.3B.12C.1D.4BCAD图18-1ABCD图18-2北师大版八年级上册数学全册知识点+训练习题第2页共31页11.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则该等腰三角形面积为_______.12.△ABC中,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a=______,b=_______.13.等腰三角形的腰长为5,底边长为8,则它底边上的高为_____,面积为____.14.如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13cm和5cm,那么这个直角三角形的面积___cm2.15.在△ABC中,若三边长分别为9、12、15,则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________.16.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,试写出两种勾股数_______.17.有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计),要求木条不能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最大长度是_________cm.18.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14,c=10,则Rt△ABC的面积是_______.二、选择题19.在△ABC中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是()A.BC2=AB2+AC2;B.AB2=AC2+BC2;C.AB2=BC2-AC2;D.AC2=BC2-AB220.三角形三边之比分别为①1:2:3,②3:4:5;③1.5:2:2.5,④4:5:6,其中可以构成直角三角形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个21.若线段a、b、c能构成直角三角形,则它们的比为()A.2:3:4B.3:4:6C.5:12:13D.4:6:722.一直角三角形的斜边长比一条直角边大2,另一条直角边长为6,则斜边长为()A.4B.8C.10D.1223.若直角三角形两角边的比为5:12,则斜边与较小直角边的比为()A.13:12B.169:25C.13:5D.12:524.下面四组数中是勾股数的有()A.1组B.2组C.3组D.4组(1)1.5,2.5,2(2)2,2,2(3)12,16,20(4)0.5,1.2,1.325.为迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小刘搬来一架高2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角距离应为()A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米如图18-4,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是()A.0B.1C.2D.3BCA图18-4图18-5BCAD北师大版八年级上册数学全册知识点+训练习题第3页共31页27.一电线杆AB的高为10米,当太阳光线与地面的夹角为60°时,其影长AC约为(3≈1.732,结果保留三个有效数字)()A.5.00米B.8.66米C.17.3米D.5.77米28.如图18-5,一架25分米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯的底部距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯的底部将平滑()A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米29.如图18-6,△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=6,BC=3,则BD的长为()A.3B.12C.1D.430.如图18-7,长方形ABCD中,AB=4,BC=3,将其沿直线MN折叠,使点C与点A重合,则CN的长为()A.72B.258C.278D.15431.若一直角三角形两边的长为12和5,则第三边的长为()A.13B.13或119C.13或15D.1532.下列各组线段中,能构成直角三角形的是()A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,733.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1、2n(n1),那么它的斜边长是()A.2nB.n+1C.n2-1D.n2+134.以下列各组数为边的三角形中,是直角三角形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个(1)3,4,5;(2)3,4,5;(3)32,42,52;(4)0.03,0.04,0.05.35.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是()A.12米B.13米C.14米D15米36.放学以后,萍萍和晓晓从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分,萍萍用15分钟到家,晓晓用20分钟到家,萍萍家和晓晓家的距离为()A.600米B.800米C.1000米D.不能确定37.如图18-8所示,要在离地面5米处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若要考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2米,L2=6.2米,L3=7.8米,L4=10米四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用()38.A.L1B.L2C.L3D.L45mBCADBCAEDBCAED图18-7北师大版八年级上册数学全册知识点+训练习题第4页共31页38.在△ABC中,∠C=90°,周长为60,斜边与一直角边比是13:5,则这个三角形三边长分别是()A.5,4,3B.13,12,5C.10,8,6D.26,24,1039.如图18-9所示,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE=()A.1B.2C.3D.240.如图18-10所示,有一块直角三角形纸片,两直角边分别为:AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm三、解答题41.如图18-11,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD.BCAD.如图18-12,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了5003米到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点,求A、C两点间的距离.43.如图18-13,求图中字母所代表的正方形面积.44.如图18-14,所示,四边形ABCD中,AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,∠B=90°,求该四边形的面积.BCAD15328BA45.如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A处登陆后,往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北方走到5km处往东一拐,仅1km就找到了宝藏,问:登陆点(A处)到宝藏埋藏点(B处)的直线距离是多少?46.如图18-16,古埃及人用下面方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后用桩钉成如图所示的一个三角形,其中一个角便是直角,请说明这种做法的根据.图18-11图18-12图18-11北师大版八年级上册数学全册知识点+训练习题第5页共31页47.已知,如图18-17所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,如果AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.48.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图18-18所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少?50.阅读材料并解答问题:我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一,古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用,古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理,在西方,勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组,在《几何》课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”,以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法:方法1:若m为奇数(m≥3),则a=m,b=12(m2-1)和c=12(m2+1)是勾股数.方法2:若任取两个正整数m和n(mn),则a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数.(1)在以上两种方法中任选一种,证明以a,b,c为边长的△ABC是直角三角形;(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格:m233444556…n121321435…a=m2-n23587121591611…b=2mn412624168403060…c=m2+n251310252017413461…(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如图18-19所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成,要求每个三角形顶点处都植一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,且每个三角形的各边长之比为5:12:13,那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵.勾m3511…股12(m2-1)41260…弦12(m2+1)51361…北师大版八年级上册数学全册知识点+训练习题第6页共31页.清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是:“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍,设其面积为S,则第一步:6S=m;第二步:m=k;第三步:分别用3、4、5乘以k,得三边长”.(1)当面积S等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长;(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.52.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220km的B处有
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